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polynomiale Wurzeln
Mathe Fakten

Wie bestimmt man die rationalen Nullstellen eines Polynoms?

Es ist zum Beispiel ein Thema der Arithmetik, das für die große mündliche Mathematik durchaus machbar ist! Die rationalen Wurzeln eines Polynoms müssen bestimmte Eigenschaften erfüllen, die diese Wurzeln systematisch auffindbar machen.

Problem Definition 

Wir definieren ein Polynom P nach folgender Form: 

P = \sum_{k=0}^n a_k X^k, a_n \neq 0, a_k \in \Z

Das Polynom hat also ganzzahlige Koeffizienten, auch wenn es bedeutet, mit zu multiplizieren das PPCM Nenner können rationale Koeffizienten angenommen werden.

Sei r eine rationale Zahl, sei r definiert durch 

p \in \Z, q \in \N^*, ​​​​r = \dfrac{p}{q}

Mit GCD(p,q) = 1

Wir werden daher nach r suchen, so dass P(r) = 0 ist 

Auflösung des Problems

Wir schreiben daher P(r) = 0, was uns ergibt 

P(r) = \sum_{k=0}^n a_k r^k = 0

Was wir schreiben können: 

P \left( \dfrac{p}{q} \right) = \sum_{k=0}^n a_k \left( \dfrac{p}{q} \right)^k = 0

Wir multiplizieren dann mit qn um die folgende Beziehung zu erhalten: 

\sum_{k=0}^n a_k p^kq^{nk} = 0

Nun isolieren wir den Term k = 0 und faktorisieren die rechte Seite mit p: 

\begin{array}{ll} &\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k p^kq^{nk} = 0\\ \iff &\displaystyle a_0q^n + \sum_{k=1}^n a_k p^kq^{nk} = 0\\ \iff &\displaystyle a_0q^n = - \sum_{k=1}^n a_k p^kq^{nk} \\ \iff &\displaystyle a_0q^n = - \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} p^{k+1}q^{n-1-k}\\ \iff &\displaystyle a_0q^n = - p\ sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} p^{k}q^{n-1-k}\\ \end{array}

Das leiten wir jetzt ab 

p | a_0 q^n

Und wie, GCD(p,q) = 1, haben wir auch ggT(p,qn) = 1 und wir erhalten nach dem Satz von Gauß:

p | a_0 

Jetzt werden wir eine ähnliche Eigenschaft für q ableiten, wir werden den Term n in der Summe isolieren: 

\begin{array}{ll} &\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k p^kq^{nk} = 0\\ \iff &\displaystyle a_np^n + \sum_{k=0}^{ n-1} a_k p^kq^{nk} = 0\\ \iff &\displaystyle a_np^n = - \sum_{k=0}^{n-1} a_k p^kq^{nk} \\ \ iff &\displaystyle a_np^n = - \sum_{k=0}^{n-1} a_{n-1-k} p^{n-1-k}q^{k+1} \\ \iff &\displaystyle a_np^n = - q\sum_{k=0}^{n-1} a_{n-1-k} p^{n-1-k}q^{k} \\ \end{array }

Wir haben die Indexänderung k ' = n-1-k vorgenommen. Der Rest der Begründung ist die gleiche. Also haben wir : 

q | a_np^n 

Und da ggT(p,q) = 1 ist, haben wir auch ggT(pn,q) = 1 und wir erhalten nach dem Satz von Gauß:

q | Jahr

Womit die Auflösung abgeschlossen ist. Damit haben wir für die rationalen Wurzeln eines Polynoms die beiden folgenden Eigenschaften erhalten: 

p | a_0, q | Jahr

p ist also ein Teiler von a0 und q ein Teiler von an. Es genügt daher, die Menge der Kombinationen der Teiler von p und q durchzugehen, um die rationalen Wurzeln zu erhalten (natürlich haben wir sie nicht immer)

Achtung, man muss den positiven und den negativen Teiler nehmen!

Beispiel 

Nehmen Sie das folgende Polynom 

P = X^3 -X^2 +X - 1

Wir haben daher nach dem, was wir zuvor gesehen haben, p | 1 und q | -1

Das bedeutet, dass die möglichen Werte für p – 1 und 1 und für q auch –1 und 1 sind. Die möglichen Werte der rationalen Wurzeln r sind also – 1 und 1.
Wir haben: P(1) = 0 und P(-1) = -4. Die einzige rationale Wurzel ist 1.

Mit dieser Methode können Sie insbesondere bei Polynomen 3. Grades auch nach einer ersten Nullstelle suchen. Wir können dann die anderen Wurzeln finden, indem wir faktorisieren und dann die Diskriminante verwenden.  

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