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Axiom der Wahl
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Was ist ein Axiom?

Ein Axiom ist ein Satz, der für wahr gehalten wird und als Ausgangspunkt für Überlegungen und Beweise verwendet wird. Die Axiome sind im Allgemeinen einfach und können in Form von elementaren Sätzen ausgedrückt werden.

Definition eines Axioms

Axiome werden in Mathematik, Logik und anderen Bereichen des rationalen Denkens verwendet. In der Mathematik sind Axiome Aussagen, die ohne Beweis als wahr akzeptiert werden. Die Axiome der Geometrie zum Beispiel sind Sätze, die die grundlegenden Eigenschaften eines geometrischen Raums beschreiben. In der Logik sind Axiome Sätze, die ohne Beweis als wahr akzeptiert werden. Die Axiome der Logik werden normalerweise in Form von logischen Symbolen ausgedrückt.

Ein Axiom ist nicht a Vermutung !

Axiome in der Mathematik

In der Mathematik werden verschiedene Axiome verwendet. Einige von ihnen sind bekannt:

  • Wahlaxiom: Es gibt eine Funktion, die jeder nichtleeren Menge ein Element dieser Menge zuordnet.
  • Paritätsaxiom: Jede ganze Zahl ist entweder gerade oder ungerade.
  • Das Erweiterungsaxiom oder Zermelo-Fraenkel-Axiom: Für jede Menge A ist die Inklusionsrelation eine Ordnungsrelation. Es besagt im Grunde, dass es ausreicht zu prüfen, ob zwei Mengen dieselben Elemente haben, um zu zeigen, dass diese beiden Mengen gleich sind.
  • Das Axiom des Vergleichs: Wenn A und B zwei nichtleere endliche Mengen sind und a ∈ A, b ∈ B, dann ist A < B genau dann, wenn | Ein | < | B |. Und so gibt es eine Injektion von A nach B.

Wenn Sie noch viel mehr wissen möchten, sehen Sie sich das Video von Professor Karré an, das insbesondere viele Elemente der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie beschreibt:

Axiome im rationalen Denken

In Bereichen des rationalen Denkens sind Axiome fundamentale Prinzipien, die nicht bewiesen werden können. Axiome werden im Allgemeinen von der Mehrheit der Menschen als wahr akzeptiert. Die Axiome der Moral sind grundlegende Prinzipien, die beschreiben, was richtig oder falsch ist. Die der Religion sind grundlegende Prinzipien, die beschreiben, was heilig oder profan ist.

Axiome in der euklidischen Geometrie

Die 5 Postulate von Euklid sind die Axiome der euklidischen Geometrie:

  • Es gibt Punkte.
  • Es gibt Rechte.
  • Parallele Linien treffen sich nur am Unendlichkeitspunkt.
  • Rechte Winkel haben ein Maß von 90°.
  • Die Maße der gegenüberliegenden Winkel desselben Dreiecks sind gleich.

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