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Dreieck 180°
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Warum ist die Summe der Winkel eines Dreiecks gleich 180°?

Dieser Artikel soll zeigen, warum die Summe der drei Winkel eines Dreiecks gleich 180° ist. Die hier vorgeschlagene Demonstration zielt darauf ab, auf College-Ebene einfach und zugänglich zu sein. Der komplizierteste Begriff hier ist die Verwendung von alternierenden Innenwinkeln.

Die Demonstration

Beginnen wir mit dieser Abbildung, die für die Demonstration letztlich ausreicht:

Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt 180°
Geometrischer Beweis der Winkelsumme eines Dreiecks

Kommen wir zu den Erläuterungen :
Die 3 Winkel oben in der Abbildung a, b und c bilden einen sogenannten „flachen“ Winkel. Das heißt, die Summe der Winkel a, b und c beträgt 180°: a + b + c = 180°.

Außerdem stellen wir fest, dass der Winkel a oben links derselbe ist wie der Winkel d unten links. Beweisen wir das: Die beiden horizontalen Linien sind parallel zueinander. Die Winkel a und d sind also alternierend-intern. Wir können daher die folgende Beziehung ableiten: a = d

Wir gehen dann mit c und e genauso vor: Der Winkel a rechts oben ist gleich dem Winkel e rechts unten. Da die beiden horizontalen Linien parallel zueinander sind, sind die Winkel c und e tatsächlich abwechselnd intern. Wir können daher die folgende Beziehung ableiten: c = e.

Wir leiten dann die bekannte Eigenschaft ab: b + d + e = b + a + c = 180°. Dies übersetzt ins Französische durch die bekannte Eigenschaft: In einem Dreieck beträgt die Summe der Winkel 180°

Manchmal ist die Summe der Winkel eines Dreiecks nicht 180°.

Gehen wir ein wenig zurück. Um diese Berechnungen durchzuführen, haben wir eine ziemlich starke Annahme gemacht: Sie müssen sich dafür in der euklidischen Geometrie befinden. Bei der sphärischen Geometrie ist beispielsweise die Summe der Winkel größer als 180°, wie hier Image :

Umgekehrt ist in der hyperbolischen Geometrie die Summe der Winkel diesmal kleiner als 180°.

Also ja, die Summe der Winkel eines Dreiecks ist immer 180° … in der euklidischen Geometrie.

Um weiter zu gehen: Summe der Winkel eines Vierecks

Haben wir eine ähnliche Eigenschaft in einem Viereck? Die Antwort ist ja ! Wie groß ist die Winkelsumme in einem Viereck?

irgendein Viereck
Irgendein Viereck

Beweisen wir folgende Aussage: In einem Viereck beträgt die Winkelsumme 360°. Hier ist die Zeichnung des Beweises: Wir schneiden dieses Viereck in 2 Dreiecke.

viereck summe von winkeln
Schneiden eines Vierecks

Wir haben einerseits: a + b + c = 180°
Andererseits: d + e + f = 180°
Außerdem ist der erste Winkel des Vierecks a, der zweite b + e, der dritte f und der vierte c + d.
Die Summe der Winkel dieses Vierecks ist also a + b + e + f + c + d = a + b + c + d + e + f = 180 + 180 = 360°. Bitte schön, wir haben bewiesen, dass die Winkelsumme eines Vierecks 360° beträgt.

Um noch weiter zu gehen: Summe der Winkel eines Polygons

Gibt es eine allgemeine Formel für ein Polygon, also jede Figur mit n Seiten? Senden Sie Ihre Antworten in den Kommentaren.

Hat Ihnen dieser Artikel gefallen? Zögern Sie nicht, unseren Artikel über die zu lesen Satz von Pythagore oder die auf Heron's Formel.

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