Hier ist die Aussage einer Übung, mit der Sie verschiedene Eigenschaften von Wallis-Integralen untersuchen können. Es ist eine Übung an der Grenze zwischen dem Kapitel Integrale und dass Suiten. Dies ist eine durchaus machbare Übung im ersten Studienjahr. Hier ist die Aussage:
Und fangen wir gleich mit der Korrektur an
Frage
Für diese Frage werden wir eine Variablenänderung vornehmen und fragen
u = \dfrac{\pi}{2}-tWir erhalten dann
\begin{array}{l} W_n = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(t) dt \\ =\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2 }}^{0} \sin^n(\frac{\pi}{2}-u) (-du)\\ =\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n (t) dt \end{array}
Wir haben die benutzt Eigenschaften von Sinus und Cosinus. Dies beantwortet leicht diese erste Frage (die nicht schwieriger ist)
Kommen wir nun zur zweiten Frage!
Frage
Wir zeigen, dass die Folge (Wn) nimmt ab. Wir haben :
\forall t \in [0, \frac{\pi}{2}], 0\leq \sin(t) \leq 1Indem jede Seite mit der Sünde multipliziert wirdn(t), wir haben
\forall t \in [0, \frac{\pi}{2}], 0\leq \sin^{n+1}(t) \leq \sin^n(t)Und die Integration auf jeder Seite, wir bekommen dann
\begin{array}{l} \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} 0dt \leq \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n+1}( t) dt\leq \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n(t)dt\\ \Leftrightarrow 0 \leq W_{n+1}\leq W_n \end{array}Die Folge (Wn) ist also tatsächlich rückläufig. Wir haben auch gerade erhalten, dass es um 0 gesenkt wurde.
Als absteigende und kleinere Folge ist die Folge (Wn) konvergiert.
Finden Sie jetzt seine Grenze.
Sein
a \in \left[0, \dfrac{\pi}{2} \right] \text{ und } \varepsilon >0Lassen Sie uns die folgende Manipulation vornehmen:
\begin{array}{l} 0 \leq W_n \\ =\displaystyle \int_0^a \sin^{n}t dt+\int_a^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n}t dt\\ \leq \displaystyle \int_0^a \sin^{n}a dt+\int_a^{\frac{\pi}{2}} 1 dt\\ \leq a\sin^{n}a + \left ( \frac{\pi}{2} - a \right) \end{array}Jetzt wählen wir ein solches aus
0 < \left( \frac{\pi}{2} - a \right) < \dfrac{\varepsilon}{2}Sobald dies behoben ist, wissen wir, dass wir ab einem bestimmten Rang Folgendes haben:
0 \leq a\sin^{n}a \leq \dfrac{\varepsilon}{2}Damit erhalten wir folgenden Rahmen:
0 \leq W_n \leq a\sin^{n}a + \left( \frac{\pi}{2} - a \right) \leq \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon} {2} \varepsilonFrage
Wir werden eine partielle Integration durchführen. Dazu schreiben wir folgende Zerlegung:
\forall n \geq 2, W_n = \int_0^{\frac{\pi}{2} } \sin(t) \sin^{n-1}(t) dtWir integrieren das linke Glied und leiten das rechte Glied ab:
W_n = \left[-\cos(t) \sin^{n-1}(t)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} + (n-1)\int_0^{\frac {\pi}{2} } \cos^2(t) \sin^{n-2}(t) dtWir verwenden dann die Trigonometrieformeln und vereinfachen den ersten Term:
\begin{array}{l} W_n = \displaystyle (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2} } (1-\sin^2(t) )\sin^{n-2} (t) dt\\ \Leftrightarrow W_n = \displaystyle (n-1)\left(\int_0^{\frac{\pi}{2} } \sin^{n-2}(t) dt-\int_0^ {\frac{\pi}{2} } \sin^{n}(t) dt\right)\\ \Leftrightarrow W_n = (n-1)(W_{n-2}-W_n) \\ \Leftrightarrow nW_n = (n-1)W_{n-2} \\ \Leftrightarrow W_n = \dfrac{n-1}{n}W_{n-2} \\ \end{array}Was in der Tat eine Wiederholungsrelation der Ordnung 2 ist.
Frage
Lassen Sie uns die ersten 2 Werte der Sequenz berechnen:
W_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^0(t) dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dt = \dfrac{\pi}{2 }Berechnen wir W1
W_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^1(t) dt =[-cos(t)]_0^{\frac{\pi}{2}}= 1Beginnen wir mit den geraden Termen:
W_{2n} = \dfrac{2n-1}{2n}W_{2n-2} = \ldots = \dfrac{\prod_{k=1}^n (2k-1)}{\prod_{k=1 }^n (2k)}W_0Wir multiplizieren die geraden Glieder im Zähler und im Nenner, sodass der Zähler alle Glieder zwischen 1 und 2n enthält.
W_{2n} = \dfrac{\prod_{k=1}^{2n} k}{\prod_{k=1}^n (2k)^2}W_{0} = \dfrac{(2n)!}{2^ {2n}n!^2}\dfrac{\pi}{2}Wir machen dann den gleichen Prozess mit den ungeraden Termen:
W_{2n+1} = \dfrac{2n}{2n+1}W_{2n-1} = \ldots = \dfrac{\prod_{k=1}^n (2k)}{\prod_{k=1 }^n (2k+1)}W_1Dann multiplizieren wir Zähler und Nenner mit allen geraden Gliedern, sodass der Nenner alle Glieder zwischen 1 und 2n+1 enthält:
W_{2n+1} = \dfrac{\prod_{k=1}^n (2k)^2}{\prod_{k=1}^{2n+1} k}W_1= \dfrac{2^{2n}n!^2}{(2n+1)!}Was die Frage gut beantwortet.
Frage
Lassen Sie uns eine Beziehung demonstrieren, die uns helfen wird. Wir haben :
\begin{array}{l} W_n = \dfrac{n-1}{n}W_{n-2}\\ \Leftrightarrow nW_n = (n-1)W_{n-2}\\ \Leftrightarrow nW_nW_{n -1} = (n-1)W_{n-1}W_{n-2} \end{array}Die Folge (nWnWn-1) ist also eine konstante Folge. Also haben wir :
nW_nW_{n-1} = 1 W_1W_0 = \dfrac{\pi}{2}Dazu,
\begin{array}{l} W_{n} \leq W_{n-1}\leq W_{n-2}\\ \Leftrightarrow W_{n} \leq W_{n-1}\leq \dfrac{n }{n-1}W_{n}\\ \Leftrightarrow 1 \leq \dfrac{W_{n-1}}{W_n}\leq \dfrac{n}{n-1} \end{array}Was uns das folgende Äquivalent gibt:
W_n \sim W_{n-1}Nehmen wir also unsere Gleichheit:
\begin{array}{l} \dfrac{\pi}{2} = nW_nW_{n-1} \sim n W_n^2\\ \Rightarrow W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}} \end{array}Damit ist unsere Frage und damit unsere Übung beendet. Wir haben mehrere Eigenschaften von Wallis-Integralen gesehen.
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