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Integral von Wallis
Korrigierte Übungen

Korrigierte Aufgabe: Wallis-Integral

Hier ist die Aussage einer Übung, mit der Sie verschiedene Eigenschaften von Wallis-Integralen untersuchen können. Es ist eine Übung an der Grenze zwischen dem Kapitel Integrale und dass Suiten. Dies ist eine durchaus machbare Übung im ersten Studienjahr. Hier ist die Aussage:

Integral von Wallis

Und fangen wir gleich mit der Korrektur an

Frage

Für diese Frage werden wir eine Variablenänderung vornehmen und fragen

u = \dfrac{\pi}{2}-t

Wir erhalten dann

\begin{array}{l} W_n = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(t) dt \\ =\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2 }}^{0} \sin^n(\frac{\pi}{2}-u) (-du)\\ =\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n (t) dt \end{array}

Wir haben die benutzt Eigenschaften von Sinus und Cosinus. Dies beantwortet leicht diese erste Frage (die nicht schwieriger ist)

Kommen wir nun zur zweiten Frage!

Frage

Wir zeigen, dass die Folge (Wn) nimmt ab. Wir haben :

\forall t \in [0, \frac{\pi}{2}], 0\leq \sin(t) \leq 1

Indem jede Seite mit der Sünde multipliziert wirdn(t), wir haben

\forall t \in [0, \frac{\pi}{2}], 0\leq \sin^{n+1}(t) \leq \sin^n(t)

Und die Integration auf jeder Seite, wir bekommen dann

\begin{array}{l} \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} 0dt \leq \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n+1}( t) dt\leq \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n(t)dt\\ \Leftrightarrow 0 \leq W_{n+1}\leq W_n \end{array}

Die Folge (Wn) ist also tatsächlich rückläufig. Wir haben auch gerade erhalten, dass es um 0 gesenkt wurde.
Als absteigende und kleinere Folge ist die Folge (Wn) konvergiert.
Finden Sie jetzt seine Grenze.
Sein

a \in \left[0, \dfrac{\pi}{2} \right] \text{ und } \varepsilon >0

Lassen Sie uns die folgende Manipulation vornehmen:

\begin{array}{l} 0 \leq W_n \\ =\displaystyle \int_0^a \sin^{n}t dt+\int_a^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n}t dt\\ \leq \displaystyle \int_0^a \sin^{n}a dt+\int_a^{\frac{\pi}{2}} 1 dt\\ \leq a\sin^{n}a + \left ( \frac{\pi}{2} - a \right) \end{array}

Jetzt wählen wir ein solches aus

0 < \left( \frac{\pi}{2} - a \right) < \dfrac{\varepsilon}{2}

Sobald dies behoben ist, wissen wir, dass wir ab einem bestimmten Rang Folgendes haben:

0 \leq a\sin^{n}a \leq \dfrac{\varepsilon}{2}

Damit erhalten wir folgenden Rahmen:

0 \leq W_n \leq a\sin^{n}a + \left( \frac{\pi}{2} - a \right) \leq \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon} {2} \varepsilon

Frage

Wir werden eine partielle Integration durchführen. Dazu schreiben wir folgende Zerlegung:

\forall n \geq 2, W_n = \int_0^{\frac{\pi}{2} } \sin(t) \sin^{n-1}(t) dt

Wir integrieren das linke Glied und leiten das rechte Glied ab:

W_n = \left[-\cos(t) \sin^{n-1}(t)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} + (n-1)\int_0^{\frac {\pi}{2} } \cos^2(t) \sin^{n-2}(t) dt

Wir verwenden dann die Trigonometrieformeln und vereinfachen den ersten Term:

\begin{array}{l} W_n = \displaystyle (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2} } (1-\sin^2(t) )\sin^{n-2} (t) dt\\ \Leftrightarrow W_n = \displaystyle (n-1)\left(\int_0^{\frac{\pi}{2} } \sin^{n-2}(t) dt-\int_0^ {\frac{\pi}{2} } \sin^{n}(t) dt\right)\\ \Leftrightarrow W_n = (n-1)(W_{n-2}-W_n) \\ \Leftrightarrow nW_n = (n-1)W_{n-2} \\ \Leftrightarrow W_n = \dfrac{n-1}{n}W_{n-2} \\ \end{array}

Was in der Tat eine Wiederholungsrelation der Ordnung 2 ist.

Frage

Lassen Sie uns die ersten 2 Werte der Sequenz berechnen:

W_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^0(t) dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dt = \dfrac{\pi}{2 }

Berechnen wir W1

W_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^1(t) dt =[-cos(t)]_0^{\frac{\pi}{2}}= 1

Beginnen wir mit den geraden Termen:

W_{2n} = \dfrac{2n-1}{2n}W_{2n-2} = \ldots = \dfrac{\prod_{k=1}^n (2k-1)}{\prod_{k=1 }^n (2k)}W_0

Wir multiplizieren die geraden Glieder im Zähler und im Nenner, sodass der Zähler alle Glieder zwischen 1 und 2n enthält.

W_{2n} = \dfrac{\prod_{k=1}^{2n} k}{\prod_{k=1}^n (2k)^2}W_{0} = \dfrac{(2n)!}{2^ {2n}n!^2}\dfrac{\pi}{2}

Wir machen dann den gleichen Prozess mit den ungeraden Termen:

W_{2n+1} = \dfrac{2n}{2n+1}W_{2n-1} = \ldots = \dfrac{\prod_{k=1}^n (2k)}{\prod_{k=1 }^n (2k+1)}W_1

Dann multiplizieren wir Zähler und Nenner mit allen geraden Gliedern, sodass der Nenner alle Glieder zwischen 1 und 2n+1 enthält:

W_{2n+1} = \dfrac{\prod_{k=1}^n (2k)^2}{\prod_{k=1}^{2n+1} k}W_1= \dfrac{2^{2n}n!^2}{(2n+1)!}

Was die Frage gut beantwortet.

Frage

Lassen Sie uns eine Beziehung demonstrieren, die uns helfen wird. Wir haben :

\begin{array}{l} W_n = \dfrac{n-1}{n}W_{n-2}\\ \Leftrightarrow nW_n = (n-1)W_{n-2}\\ \Leftrightarrow nW_nW_{n -1} = (n-1)W_{n-1}W_{n-2} \end{array}

Die Folge (nWnWn-1) ist also eine konstante Folge. Also haben wir :

nW_nW_{n-1} = 1 W_1W_0 = \dfrac{\pi}{2}

Dazu,

\begin{array}{l} W_{n} \leq W_{n-1}\leq W_{n-2}\\ \Leftrightarrow W_{n} \leq W_{n-1}\leq \dfrac{n }{n-1}W_{n}\\ \Leftrightarrow 1 \leq \dfrac{W_{n-1}}{W_n}\leq \dfrac{n}{n-1} \end{array}

Was uns das folgende Äquivalent gibt:

W_n \sim W_{n-1}

Nehmen wir also unsere Gleichheit:

\begin{array}{l} \dfrac{\pi}{2} = nW_nW_{n-1} \sim n W_n^2\\ \Rightarrow W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}} \end{array}

Damit ist unsere Frage und damit unsere Übung beendet. Wir haben mehrere Eigenschaften von Wallis-Integralen gesehen.

Hat dir diese Übung gefallen? Finden Sie heraus, wie diese Übung Ihnen bei der Berechnung helfen kann Stirlings Formel !

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