Inhalt dieses Artikels
Bestimmung
Durch eine Differentialgleichung (Klemmenebene)
Wir definieren das Exponential, bezeichnet exp, als eindeutig differenzierbare Funktion wie:
\begin{array}{l} \forall x \in \mathbb R , f'(x) = f(x) \\ f(0) = 1 \end{array}Durch seinen Kehrwert
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\begin{array}{l} \text{Die Exponentialfunktion, von } \mathbb R_+ \text{ in } \mathbb R \\\text{ist als Umkehrfunktion definiert} \\ \text{du Logarithmus neperisch}\end{array}Durch eine Summe (Vorbereitungsstufe)
Die Exponentialfunktion ist definiert durch:
\forall x\in\mathbb R,\exp(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n!}Exponentialdiagramm
Hier ist der Graph der Exponentialfunktion
Propriétés
Die Exponentialfunktion ist eine steigende Funktion
Sie ist nach R differenzierbar und gleich ihrer Ableitung, sie ist sogar unendlich differenzierbar.
\forall x\in\mathbb R, f'(x)=f(x)
Es ist eine positive Funktion:
\forall x\in\mathbb{R}, f(x) > 0exp(1) wird mit e bezeichnet. Hier ist eine Annäherung an seinen Wert. Dies ist einer der Online-Rechner, die ich verwendet habe gestern um eine gute Annäherung an seinen Wert zu erhalten.
e \approx 2.71828182846
Begrenztheit
\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to+\ \infty}e^{x\ }=\+\ \infty\\ \\ \displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^ x\=\0\end{array}Die Exponentialfunktion hat Vorrang vor den meisten Funktionen, hier sind verschiedene Grenzen zu beachten:
\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ \frac{e^x}{x}\ =\ +\ \infty\\ \\ \displaystyle\lim_{x\to+\ infty}\ \frac{e^x}{x^n}=\ +\ \infty\\ \\ \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\ xe^x\=\ 0 \\ \\ \ displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^ne^x\ =\ 0 \\ \\ \displaystyle\lim_{x\to0}\ \frac{e^x-1}{x}=\ 1\ Ende{Array}Berechnungseigenschaften
\begin{array}{l}e^{x+y}=e^xe^{\text{y}}\\ e^{nx}=\left(e^x\right)^n\\ \dfrac {1}{e^x}=e^{-x}\\ e^{xy}=\dfrac{e^x}{e^y}\end{array}Wir haben auch Gegenseitigkeit mit der Logarithmus :
\begin{array}{l}\forall x \in \mathbb{R}_+^* , \exp \left(\ln \left(x\right)\right)= x\\ \forall x\in \ mathbb{R}, \ln \left(\exp \left(x\right)\right) = x\end{array}Taschenrechner
Hier ist ein Rechner, mit dem Sie die Werte des Exponentials berechnen können, um die Ergebnisse Ihrer Berechnungen zu überprüfen:
Beispiele
Erstes Beispiel
Betrachten Sie die folgende Funktion:
x \mapsto xe^{x}Diese Funktion ist tatsächlich auf R als Produkt differenzierbarer Funktionen differenzierbar. Wir werden es wie ein Produkt ableiten
\begin{array}{l}u\left(x\right)\ =\ x\\ v\left(x\right) = e^x\end{array}\begin{array}{l}u^{ \prime}\left(x\right) = 1\\ v^{\prime}\left(x\right) = e^x \end{array}\\ f^{\prime}\left(x\right )= 1e^{x}+xe^{x\ }=\links(x+1\rechts)e^x\\
Untersuchen wir auch das Vorzeichen seiner Ableitung:
\begin{array}{l}f^{\prime}\left(x\right) = 0\Leftrightarrow \left(x+1\right)e^x = 0\Leftrightarrow x =-1 \\ f^{ \prime}\left(x\right) > 0 \Leftrightarrow \left(x+1\right) e^{x}>0 \Leftrightarrow \left(x+1\right)>0 \Leftrightarrow x > -1\ Ende{Array}f fällt also auf ] – ∞, -1[ und steigt auf ]-1, + ∞[
Lassen Sie uns seine Grenzen studieren:
\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x\to +\infty } xe^{x\ }=+\infty \times +\infty =+\infty \\ \text{En }-\infty ,\text{wir verwenden die oben gezeigte Eigenschaft limited:} \\ \displaystyle \lim _{x\to -\infty }xe^x\ =\ 0\end{array}Abschließend sieht es so aus:
Zweites Beispiel
Vereinfache den folgenden Bruch:
\dfrac{e^{4x}+e^{2x}}{e^{3x}+e^x}Wir werden verschiedene Eigenschaften des Exponentials und der Brüche verwenden:
\begin{array}{ll}\dfrac{e^{4x}+e^{2x}}{e^{3x}+e^x}\\ = \dfrac{e^{2x}\times e^{ 2x}+e^{2x}}{e^{2x}\times e^x+e^x} &\text{Wir zerlegen}\\ = \dfrac{e^{2x}\left(e^{2x }+1\right)}{e^x\left(e^{2x}+1\right)}&\text{Wir faktorisieren}\\ = \dfrac{e^{2x}}{e^x}& \text{Wir vereinfachen}\\ = \dfrac{e^x\times e^x}{e^x}\\ =e^x\end{array}Drittes Beispiel
Löse die folgende Gleichung:
e^x\ =\ \frac{-4}{e^x+4}Mehrere Lösungsschritte. Vereinfachen wir zuerst den Bruch:
\begin{array}{ll}&e^x\ = \dfrac{-4}{e^x+4}\\ \iff &e^x\left(e^x+4\right) = -4\\ \ iff&\left(e^x\right)^2+4e^x =-4\\ \iff &\left(e^x\right)^2+4e^x +4 = 0\end{array}Wir setzen dann y = ex. Damit ergibt sich nun die folgende quadratische Gleichung (falls Sie eine Gedächtnislücke bei der quadratischen Gleichung haben, schau dir diesen Artikel an):
\begin{array}{l}y^{2}+4y + 4\ = 0\end{array}Dann lösen wir diese Gleichung, indem wir eine bemerkenswerte Identität erkennen:
\begin{array}{l}y^2+4y+4 = 0 \\ \Leftrightarrow \left(y+2\right)^{2}=0\\ \Leftrightarrow y=-2 \end{array}Wir erhalten daher, dass zx = 2. Wir folgern dann, dass x = ln(2)
Trainings-Einheiten
Übung 1 :
Beginnen wir mit Limitberechnungen. Berechnen Sie die folgenden Grenzen:
\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{e^x-8}{e^{2x}-x}\\ \displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^{0.00001}e^x\\ \displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^{1000000}e^x\\ \displaystyle\lim_{x\to0^+}e^{\frac{1 }{x}}\\ \displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x^2-3x+12}\end{array}Übung 2 :
Ordnen Sie durch Begründung jeder Funktion ihre Kurve zu.
Hier ist die Liste der Funktionen:
\begin{array}{l}\displaystyle f\left(x\right) = \frac{e^x-1}{2}\\ \displaystyle g\left(x\right) = \frac{e^x -1}{e^x+1}\\ \displaystyle h\left(x\right) = 1-e^{-x}\\ \displaystyle i\left(x\right) = \frac{e^x +e^{-x}}{2}\\ \displaystyle j\left(x\right) = \frac{e^xe^{-x}}{2}\end{array}Und hier die Kurven:
Übung 3 :
\begin{array}{l}\text{Wir betrachten die Folge definiert durch }u_n = e^{4-\frac{n}{3}}\\ \text{Für jede natürliche Zahl n setzen wir } S_n= u_0 + u_1+ ... + u_n\\ \text{Wir setzen auch }P_{n }= u_0\times u_1\times... \times u_n\\ 1)\text{Beweisen Sie, dass die Folge }\left(u_n \right)\text{ ist geometrisch und begründet} \\ 2)\text{ Drücke die Summe }S_{n\text{ als Funktion von n aus}\\ 3)\text{ Bestimme den Grenzwert von } S_{n } \ text{ da n gegen }+\infty\\ strebt 4)\text{ Drücken Sie das Produkt }P_n \text{ als Funktion von n aus} \\ 5)\text{ Bestimmen Sie den Grenzwert von }P_n\text{ als n tendiert zu }+\ \infty\end{array}Übung 4
Lösen Sie die folgenden Ungleichungen:
\begin{array}{l}1)\displaystyle\frac{e^x+3}{e^x+1}\ge 2\\ 2)\displaystyle 8e^{2x}<5 e^{x }+ 3\\ 3)\displaystyle e^{4x+3\ }< e^{2x +7}\\ 4)\displaystyle \frac{3e^x-5}{e^x-12}<\frac{3 }{2}\end{array}Übung 5:
Wir geben die Kurve dieser Funktion an:
Wir wissen, dass f(0) = -4, f(1) = 0 und f'(0) = -1.
1) Bestimme a, b und c so, dass f(x) = (ax2+bx+c)ex
2) Zeichnen Sie die Variationstabelle der so erhaltenen Funktion
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