Die angrenzenden Suiten: Kurse und korrigierte Übungen
Inhalt dieses Artikels
Dieser Artikel zielt darauf ab, benachbarte Sequenzen anhand ihrer Definition, Beispiele und korrigierten Übungen vorzustellen. Es ist gut, Grundkenntnisse über Folgen zu haben, nämlich arithmetische Folgen und geometrische Folgen.
Bestimmung
Zwei Suiten (un) und vn) werden als benachbart bezeichnet, wenn:
- Die Reihenfolge (un) nimmt zu
- Die Folge (Vn) nimmt ab
- Die Grenze ihrer Differenz ist Null:
\lim_{n \to +\infty} v_n - u_n = 0 Dann haben wir den folgenden Satz, der als Satz von angrenzenden Folgen bezeichnet wird:
Die Sequenzen (un) und vn) gegen denselben Grenzwert konvergieren.
Darüber hinaus können wir die folgende Eigenschaft feststellen:
\forall n \in \mathbb{N}, u_0 \leq u_n \leq l \leq v_n \leq v_0Beispiel
Betrachten Sie die folgenden zwei geometrischen Folgen:
u_n = \dfrac{1}{2^n}, v_n =- \dfrac{1}{2^n}Wir haben:
- (un) nimmt ab
- (vn) nimmt zu
- Die Grenze ihrer Differenz ist Null:
\lim_{n \to +\infty} u_n-v_n = 0Diese beiden Suiten sind daher sehr benachbart.
Korrigierte Übungen
Demonstration der Irrationalität von z
Der Beweis der Irrationalität von e verwendet benachbarte Folgen
Übung 39 (Vorbereitungsstufe für angrenzende Suiten)
Frage
Um zu zeigen, dass diese reellen Zahlen wohldefiniert sind, genügt es zu zeigen, dass die Elemente tatsächlich positiv sind.
Wir werden diese Existenz durch Induktion zeigen
- Initialisierung: a0 und B0 sind gut definiert und positiv
- Vererbung: Es wird angenommen, dass für ein gegebenes n, an und Bn existieren und sind positiv. Schluchzenn + 1 existiert und ist tatsächlich als arithmetisches Mittel positiver Terme positiv. Darüber hinaus,
a_{n+1}= \sqrt{a_nb_n} \geq 0Und deshalb existiert.
Für den zweiten Teil der Frage werden wir es ohne Wiederholung tun. Der Fall n = 0 ist offensichtlich. Wir nehmen n > 0 an
Wie:
(\sqrt{a_{n-1}}-\sqrt{b_{n-1}})^2 \geq 0 Wir haben:
a_{n-1} + b_{n-1} - 2 \sqrt{a_{n-1}b_{n-1}} \geq 0Wenn wir also die Terme umstellen, erhalten wir:
\dfrac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2} \geq \sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}Was uns gibt:
b_n \geq a_n
Das haben wir im ersten Teil der Frage gezeigt
a_n \geq 0
Frage
Wir haben:
\begin{array}{ll} a_{n+1} - a_n& = \sqrt{a_nb_n}-a_n \\ &=\sqrt{a_n}(\sqrt{b_n}-\sqrt{a_n}) \\ &\ geq 0 \end{array}Also (an) nimmt zu
Dazu,
\begin{array}{ll} b_{n+1} - b_n& =\dfrac{b_n+a_n}{2}-b_n \\ &=\dfrac{a_n-b_n}{2} \\ &\leq 0 \ Ende{Array}Schluchzenn) wird weniger. Darüber hinaus :
\begin{array}{ll} b_{n+1}-a_{n+1}& = \dfrac{a_n+b_n}{2} - \sqrt{a_nb_n}\\ & \leq \dfrac{a_n+b_n }{2} - \sqrt{a_na_n} \\ &=\dfrac{b_n-a_n}{2} \end{array}Wir haben dann durch eine Wiederholung, die dem Leser übrig bleibt:
0 \leq b_n -a_n \leq \dfrac{ba}{2^n}Und so nach dem Framing Theorem:
\lim_{n \to +\infty} b_n-a_n = 0Die Sequenzen (an) und Bn) sind daher gut benachbart.
NB : Der gemeinsame Grenzwert von (an) und Bn) heißt das arithmetisch-geometrische Mittel von a und b und wird mit M(a,b) bezeichnet.
Ergänzende Übungen
Hier ist eine erste Übung
Zeigen Sie, dass dieses Folgenpaar benachbarte Folgen sind
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