Dieser Artikel zielt darauf ab, die Spur einer Matrix anhand ihrer Definition, Beispiele und korrigierten Übungen darzustellen. Es ist gut, Grundkenntnisse darüber zu haben, was eine quadratische Matrix ist.

Bestimmung

Sei A eine quadratische Matrix der Größe n, definiert durch ihre Koeffizienten (a_ij). Die mit Tr(A) bezeichnete Spur von A ist die Summe der Diagonalkoeffizienten dieser Matrix. Mit Hilfe einer Summe steht also geschrieben:

Tr(A) = \sum_{k=1}^n a_{ii}

Es handelt sich also um eine Anwendung von

M_{n}(\mathbb{K})\mapsto\mathbb{K}

wobei K ein Körper ist.

Beispiel

Nehmen Sie die folgende Matrix:

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}

Die Spur von A ist dann

1 + 5 + 9 = 15

Propriétés

Anhand einer korrigierten Aufgabe, deren Aussage hier ist, zeigen wir die wichtigsten Eigenschaften von Matrixspuren:

Wir werden diese Beweise auf dem Körper der reellen Zahlen führen, aber sie gelten allgemeiner in einem Körper K.

Beginnen wir also damit, die Linearität der Spur zu zeigen. Sei λ eine reelle Zahl und A eine quadratische Matrix der Größe n.

\begin{array}{ll} Tr(\lambda A) &=\displaystyle \sum_{i=1}^n (\lambda a)_{ii}\\ & =\displaystyle \sum_{i=1}^ n \lambda a_{ii}\\ &=\displaystyle \lambda \sum_{i=1}^n a_{ii}\\ & =\lambda Tr(A) \end{array}

Sei B eine quadratische Matrix der Größe n, dann gilt:

\begin{array}{ll} Tr(A+B) &=\displaystyle \sum_{i=1}^n (a+b)_{ii}\\ & =\displaystyle \sum_{i=1}^ n a_{ii}+b_{ii}\\ &=\displaystyle \sum_{i=1}^n a_{ii}+ \sum_{k=1}^n b_{ii}\\ & =Tr(A ) +Tr(B) \end{array}

Dies zeigt uns die Linearität der Trace-Funktion. Es handelt sich also um eine lineare Form!

Zeigen wir, dass wir zwei Terme vertauschen können:

\begin{array}{ll} Tr(AB) &=\displaystyle \sum_{i=1}^n (ab)_{ii}\\ & =\displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{ j=1}^n a_{ij}b_{ji}\\ & =\displaystyle \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n a_{ij}b_{ji}\\ &= \displaystyle \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n b_{ji}a_{ij}\\ & =\displaystyle \sum_{j=1}^n (ba)_{ji} \\ & =Tr(BA) \end{array}

Ergebnis : Die Spur ist a Ähnlichkeit unveränderlich. Eine

B = PAP^{-1}

Also haben wir:

\begin{array}{ll} Tr(B) &= Tr(PAP^{-1})\\ &= Tr(P(AP^{-1}))\\ &= Tr((AP^{- 1})P)\\ &= Tr(A(P^{-1}P))\\ & = Tr(A) \end{array}

Für die letzte Eigenschaft, die nicht so klassisch ist wie die vorherigen. Gäbe es eine solche Matrix der Größe n, hätten wir:

Tr(AB-BA) = Tr(I_n) 

Oder,

Tr(AB-BA) = Tr(AB) - Tr(BA) 

Et

Tr(AB) = Tr(BA) 

donc

0 = Tr(I_n) = n

Damit kommen wir zu einem Widerspruch!

Um mehr zu beachten : Die Spur ist durch die Transponierung invariant:

Tr({}^t A) = Tr(A)

korrigierte Übung

Um diese Übung durchzuführen, verwenden wir eine oben festgelegte Formel:

Tr(AM) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}m_{ji}

Wir haben:

\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}m_{ji} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}m_ {ji}

Dank der Matrix M = E_lk Elementarmatrix erhalten wir direkt

a_{kl} = b_{kl}

weil ich_lk ist der einzige Nicht-Null-Term der Summe und gleich 1. Wir haben also durch Variieren von k und l:

\forall k,l \in \{1, \ldots, n \},a_{kl} = b_{kl}

Also A = B