Was ist der Satz von Hospital, auch als Hospital-Regel bekannt? Dieser Artikel wird es ermöglichen, diese Regel zu formulieren und zu demonstrieren!

Erklärung zur Krankenhausregel

Seien f und g zwei differenzierbare Funktionen an einem Punkt a und zwar so, dass f(a) = g(a) = 0. Außerdem ist g'(a) ≠ 0. Dann haben wir die folgende Eigenschaft:

\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a } \dfrac{f'(x)}{g'(x)}

Verallgemeinerung

Wir können ein durch ersetzen

\pm \infty

Und wir können auch haben:

\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \pm \infty\\ \displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = \pm \infty \end {Array}

Beispiele

Beispiel 1 : Nimm die Funktion h definiert durch

h(x) = \dfrac{x-2}{x^2-6x+8} = \dfrac{f(x)}{g(x)} 

Wir haben:

f(2)=g(2)=0

Auf der anderen Seite,

g'(x) = 2x-6

donc

g'(2) \neq 0 

Wir leiten dann ab:

\lim_{x \to 2} h(x) = \lim_{x \to 2} \dfrac{1}{2x-6} = -\dfrac{1}{2}

Beispiel 2 : Nehmen Sie die Funktionen f und g definiert durch

f(x) = \ln(X)

Et

g(x) = x-1

Und lassen Sie uns die Grenze des Verhältnisses dieser beiden Funktionen in 1 untersuchen.
Es gilt: f(1) = g(1) = 0
Dazu,

g'(x) = 1 

Also wir haben auch:

g'(1) \neq 0 

Wir werden daher unsere berühmte Regel anwenden, um zu erhalten:

\lim_{x\to 1}\dfrac{f(1)}{g(1)}=\lim_{x\to 1}\dfrac{f'(1)}{g'(1)}=\dfrac {\frac{1}{1}}{1} = 1

Demonstration der Herrschaft von L'Hôpital

Kommen wir nun zur Demonstration. Das ist im klassischen Fall ganz einfach.
Wir haben folgende Eigenschaft:

f(x) = f(x)-f(a)

Ähnlich

g(x) =g(x)-g(a)

Also machen wir den Quotienten:

\begin{array}{ll} \dfrac{f(x)}{g(x)} & = \dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a) }\\ & = \dfrac{f(x)-f(a)}{xa } \dfrac{xa}{g(x)-g(a) }\\ \end{array}

Ans Limit gehen:

\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} =\dfrac{f'(a)}{g'(a)}

Damit ist diese Demonstration der Herrschaft von L'Hôpital abgeschlossen.

Wenn Sie mit den üblichen Äquivalenten und Erweiterungen vertraut sind, werden Sie diese Regel normalerweise nie brauchen. Aber manchmal kann es einfach zu bedienen sein und einige sind Fans davon, da sie die begrenzten Entwicklungen meistern!