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Die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel: Demonstration und Übungen

Diese Formel ist in der Wahrscheinlichkeit wesentlich, die Formel der Gesamtwahrscheinlichkeiten ist bekannt, sobald man Wahrscheinlichkeiten macht.

Angabe der Formel für Gesamtwahrscheinlichkeiten

Ein Sonderfall

Seien A und B zwei Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit ungleich Null. Wir haben dann folgende Beziehung:

\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(B\cap A)+\mathbb{P}(B\cap\bar{A})

Allgemeiner Fall

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum

(\Omega, A, \mathbb{P})

Wenn (Bi) ein vollständiges System von Ereignissen (SCE) ist und wenn die Wahrscheinlichkeit jedes dieser Ereignisse nicht Null ist, dann

\mathbb{P}(A)=\sum_{i\in I}\mathbb{P}(A|B_i)\mathbb{P}(B_i)=\sum_{i\in I}P(A\cap B_i ) 

Demonstration der Formel für Gesamtwahrscheinlichkeiten

Hier ist eine direkte Demonstration, um die Formel für Gesamtwahrscheinlichkeiten zu demonstrieren. Wir beginnen mit dem endlichen Fall:

\begin{array}{ll} \mathbb{P}(A)& = \mathbb{P}(A \cap \Omega) \\ & = \mathbb{P}(A \cap (B_1 \cup \ldots \ cup B_n)) \\ & = \mathbb{P}((A \cap B_1) \cup \ldots \cup(A\cap B_n)) \\ & = \mathbb{P}(A \cap B_1 ) + \ ldots + \mathbb{P}(A \cap B_n ) \end{array}

Wir nutzten die Tatsache, dass die Ereignisse Bi et B.j sind inkompatibel und daher gleich, wenn sie sich mit A schneiden.

Zeigen wir im Fall einer endlichen oder abzählbaren Familie:

\begin{array}{ll} \mathbb{P}(A)& = \mathbb{P}(A \cap \Omega) \\ & = \mathbb{P}(A \cap (\cup_{ i \in I} B_i)) \\ & = \mathbb{P}(\cup_{i \in I}(A \cap B_i) ) \\ & =\displaystyle\sum_{i \in I} \mathbb{P}( A \cap B_i ) \end{array}

Damit haben wir den Beweis im allgemeinen Fall

Trainings-Einheiten

Übung 1

Computer der Marken A, B oder C bilden eine Flotte von Computerausrüstung. Diese Computer werden in Blättern an die Wartungsabteilung referenziert. Computer sind entweder stationär oder tragbar

  1. 60 % der Computer sind Marke A und davon sind 30 % Desktops.
  2. 30 % der Computer sind Marke B und 10 % davon sind Laptops.
  3. Die anderen Computer sind Marke C und 40 % davon sind Desktops.

Wir konsultieren zufällig die Datei eines Computers, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um die Datei eines fest installierten Computers handelt?

Übung 2

Ein Beutel enthält Würfel. 80 % dieser Würfel sind manipuliert und 20 % sind normal. Wenn die Würfel manipuliert sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, 0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln?

Übung 3 – Auszug aus Bac ES – Sitzung vom September 2019

Ein Großhändler für Parfümflakons möchte die Qualität der Flakons untersuchen, die er erhält.

Er erhielt 1 Flaschen eines bestimmten Modells von zwei verschiedenen Produktionsstätten, Standort A und Standort B. Von den 500 erhaltenen Flaschen dieses Modells stammten 1 von Standort A, die anderen von Standort B.

Den Großhändler interessiert das Aussehen der Flasche. Von den Flaschen von Standort A haben 95 % ein Aussehen, das den Spezifikationen entspricht, während 92 % der Flaschen von Standort B ein Aussehen haben, das den Spezifikationen entspricht.

Er nimmt zufällig eine der Flaschen, die er bei der letzten Lieferung erhalten hat.

Wir bemerken :

  • Beim Event „Die Flasche kommt von Standort A“
  • B das Ereignis „Die Flasche kommt von Standort B“;
  • C das Ereignis „die Flasche hat ein Aussehen, das den Spezifikationen entspricht“.
  1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Fläschchen von Standort A stammt und wie angegeben aussieht.
  2. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Flasche ein Aussehen hat, das den Spezifikationen entspricht, 0,938 beträgt.

Übung 4

Ein Paketzusteller stellt fest, dass 5 % der von ihm zuzustellenden Pakete in einem schlechten Zustand sind.

  • Wenn das Paket nicht in gutem Zustand ist, wird es von 90 % der Kunden abgelehnt und an den Absender zurückgeschickt.
  • Wir akzeptieren 99 % der Pakete in gutem Zustand und die anderen werden aus verschiedenen Gründen abgelehnt.

Am Ende seiner Runde nimmt der Zusteller zufällig einen der Lieferscheine. Wir bemerken :

  • Bei der Veranstaltung: "Das entsprechende Paket ist in schlechtem Zustand".
  • B das Ereignis: „Der Kunde hat das Paket abgelehnt“.

p(B) berechnen

Übung 5 – Überlegen

Informationen werden innerhalb einer Population übermittelt. Mit einer Wahrscheinlichkeit p werden die von einer Person empfangenen Informationen unverändert an die nächste Person weitergegeben. Mit Wahrscheinlichkeit 1−p werden die von einer Person erhaltenen Informationen auf umgekehrtem Weg an die nächste Person übermittelt. Wir notieren pn die Wahrscheinlichkeit, dass die Informationen nach n Übertragungen korrekt sind.

  1.  Geben Sie eine Wiederholungsrelation zwischen p ann + 1 und Pn.
  2.  Leiten Sie den Wert von p abn als Funktion von p und n.
  3.  Leiten Sie den Grenzwert im Unendlichen von p hern. Was denken Sie?

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