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Kosinus und Sinus
Erinnerungsblätter Bac Bewertungen

Alle Eigenschaften von Sinus und Cosinus

Dieser Artikel zielt darauf ab, die meisten Formeln auf der zusammenzuführen Sinus et cosinus. Ein Artikel, den Sie in Ihre Favoriten einfügen und bei Bedarf konsultieren können!
Es stellt offensichtlich die Verbindung mit dem her Kurs über Sinus und Cosinus.

Grundlegende Formeln

\forall \alpha \in \R \\ \begin{array}{|c|c|} \hline \\ \cos(\alpha + 2n \pi) = \cos(\alpha) & \sin(\alpha + 2n\pi) = \sin(\alpha) \\\\ \hline\\ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) & \ sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \\\\ \hline\\ \cos(\alpha+\pi) = -\cos(\alpha)& \sin(\alpha+\pi) = -\ sin(\alpha) \\ \\ \hline\\ \cos(\pi-\alpha) = -\cos(\alpha)& \sin(\pi-\alpha) = \sin(\alpha) \\\ \ \hline\\ \cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\alpha) & \sin(\alpha +\frac{\pi}{2}) = \cos( \alpha) \\\\ \hline\\ \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha ) = \sin(\alpha) & \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha ) = \cos(\alpha) \\\\ \hline \end{array}

Moivre- und Euler-Formeln

Dieser Teil bezieht sich auf die komplexe Form, die Sie auch in Ihre Favoriten einfügen können!

Moivres Formel

Hier ist, was die de Moivre-Formel sagt:

\forall x \in \R, (\cos(x) + i \sin(x))^n = \cos(nx)+i \sin(nx)

Eulers Formel

Eulers Formel, die eine Beziehung ist, die Cosinus, Sinus und verbindet exponentiellist wie folgt:

e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x) 

Wir leiten die folgende Formel ab, die e, i, π und -1 in Beziehung setzt, wobei x = π in der obigen Gleichung angenommen wird

e^{i\pi} = -1

Additionsformeln

Hier sind alle sogenannten Sinus- und Cosinus-Additionsformeln:

\begin{array}{rcr}\cos\left(a+b\right)& =& \cos\left(a\right)\cos\left(b\right)\ -\ \sin\left(a\ rechts)\sin\links(b\rechts)\\ \cos\links(ab\rechts)& =& \cos\links(a\rechts)\cos\links(b\rechts)\ +\ \sin\links (a\right)\sin\left(b\right)\\ \sin\left(a+b\right)& =& \sin\left(a\right)\cos\left(b\right)\ + \ \sin\left(b\right)\cos\left(a\right)\\ \sin\left(ab\right)& =& \sin\left(a\right)\cos\left(b\right )\ -\ \sin\left(b\right)\cos\left(a\right)\end{array}

Wir leiten, indem wir a = b nehmen, die Duplikationsformel ab:

\begin{array}{rcl}\cos(2a)&=& \cos^2(a)\ -\ \sin^2\left(a\right)\\ \cos\left(2a\right)& = & 2\cos^2\left(a\right)\ -\ 1\\ \cos\left(2a\right)& =& 1\ -\ 2\ \sin^2\left(a\right)\\ \sin\left(2a\right)& =& 2\sin\left(a\right)\cos\left(a\right)\end{array}

Durch Umkehrung der Zeilen 2 und 3 erhalten wir die sogenannten Linearisierungsformeln:

\begin{array}{rcr}\cos^2\left(a\right) &=& \dfrac{1+\cos\left(2a\right)}{2}\\
\sin^2\left(a\right)&= &\dfrac{1-\cos\left(2a\right)}{2}\end{array}

Produktsummenformeln

Hier ist die Liste der Formeln, die die Produkte von Cosinus und Sinus in eine Summe umwandeln

\begin{array}{rcr} \cos\left(a\right)\cos\left(b\right)& =&\dfrac{\cos\left(a+b\right)+\cos\left(ab \right)}{2}\\ \sin\left(a\right)\sin\left(b\right)& =& \dfrac{\cos\left(ab\right)-\cos\left(a+ b \right)}{2}\\ \sin\left(a\right)\cos\left(b\right)& =& \dfrac{\sin\left(a+b\right)+\sin\left ( ab\right)}{2}\\ \cos\left(a\right)\sin\left(b\right)& =& \dfrac{\sin\left(a+b\right)-\sin\ left (ab\right)}{2}\end{array}

Die vierte Formel ist die gleiche wie die dritte, indem a und b vertauscht werden.

Summenproduktformeln

Hier ist die Liste der Formeln, die die Summen von Cosinus und Sinus in Produkte umwandeln

\begin{array}{rcr}\cos\left(a\right)+\cos\left(b\right) &=& 2\cos\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\ cos\left(\dfrac{ab}{2}\right)\\ \cos\left(a\right)-\cos\left(b\right)& =& -2\sin\left(\dfrac{a +b}{2}\right)\sin\left(\dfrac{ab}{2}\right)\\ \sin\left(a\right)+\sin\left(b\right) & = &2\ sin\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{ab}{2}\right)\\ \sin\left(a\right)-\sin\left( b\right) &= &2\sin\left(\dfrac{ab}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\end{array}

Tangentenhalbwinkelformel

Wenn wir setzen

u = \tan \left( \dfrac{t}{2} \right)

Also haben wir:

\begin{array}{rcr} \cos t &=& \dfrac{1-u^2}{1+u^2}\\ \\ \sin t &=& \dfrac{2u}{1+u^ 2}\\ \\ \tan t &=& \dfrac{2u}{1-u^2} \end{array}

Beispiele

Beispiel 1

\text{Berechnen } \cos\left(\frac{\pi}{12} \right)

Das merken wir zuerst

\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}

Dann leiten wir mit Hilfe der Additionsformeln ab, dass

\begin{array}{l}\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)\\ \\
=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\ +\ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\ \\
=\dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \\
= \dfrac{\sqrt{2}}{4}\left(1+\sqrt{3}\right)\\ \\
=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\end{array}

Beispiel 2
Unter Verwendung des Ergebnisses des vorherigen Beispiels leiten Sie ab

\sin\left(\frac{\pi}{12}\right);\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right);\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right)

Für den ersten verwenden wir die Summe der Quadrate von Cosinus und Sinus, um 1 zu sein:

\begin{array}{l}\forall\ x\ \in\mathbb{R},\cos^2\left(x\right)\ + \sin^2\left(x\right) = 1\\ \ \ \sin^2\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\ =1-\cos^2\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\ \\ \\ = 1 \ - \left(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)^2\\ \\ = 1\ - \dfrac{2+6+\sqrt{12}}{ 16}\\ \\ = 1\ -\dfrac{8+2\sqrt{3}}{16}\\ \\ =\dfrac{8-2\sqrt{3}}{16}\\ \\ \ text{Das wissen wir } \sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)>0\\ \\ \text{Also } \sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right )\ = \dfrac{\sqrt{8-2\sqrt{3}}}{4}\\ \\ \sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\ = \dfrac{\sqrt {6}-\sqrt{2}}{4}\end{array}

Dann verwenden wir die zuvor gesehenen Formeln:

\begin{array}{l}\cos\left(\frac{7pi}{12}\right)\ =\ \cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12 }\right)\ =\ -\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\\ \\ \sin\left(\frac{7\pi}{12}\right)\ =\ \sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\ =\ \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\end{ Array}

Trainings-Einheiten

Übung 1
Berechnen Sie die folgenden Werte, wir können die Grundformeln des ersten Teils verwenden

\begin{array}{l}\cos\left(-\frac{19\pi}{3}\right)\\ \\
\sin\left(\frac{40\pi}{3}\right)\\ \\
\sin\left(\frac{99\pi}{2}\right)\end{array}\begin{array}{l}\sin\left(-\frac{26\pi}{4}\right)\\ \\
\cos\left(\frac{59\pi}{6}\right)\\ \\
\sin\left(\frac{53\pi}{6}\right)\end{array}

Übung 2
Vereinfachen Sie die folgenden Summen:

\begin{array}{l}\cos(−x)\ -\ 2\cos(3\pi−x)\ +\ \cos(5\pi+x)\\ \\
\sin\left(\frac{3\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{10\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{13pi}{7}\right)\\ \\
\cos\left(\frac{pi}{12}\right)+\cos\left(\frac{3\pi}{12}\right)+\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)+\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)+\cos\left(\frac{9\pi}{12}\right)+\cos\left(\frac{11\pi}{12}\right)\end{array}

Übung 3
Beweisen Sie die folgenden Gleichheiten:

\begin{array}{l}\cos\left(3a\right)\=\4\cos^3\left(a\right)\-\3\cos\left(a\right)\\ \\\ sin\left(3a\right)\ =\ -4\sin^3\left(a\right)\ +\ 3\sin\left(a\right)\\ \\ \cos\left(a\right) \cos\left(2a\right)\cos\left(4a\right)=\ \frac{\sin\left(8a\right)}{8\sin\left(a\right)}\end{array}

Übung 4
Zeigen Sie das für alle reellen x

\sin\left(x\right)+\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)+\sin\left(x+\frac{4pi}{3}\right)=0

Dasselbe können wir mit dem Kosinus machen

Übung 5
Lösen Sie in ]-π,π[ die folgende Gleichung auf:

\frac{1}{2}\cos(x) +\frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) = \frac{1}{2}

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