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Newtons Binomial

Der heutige Artikel widmet sich Newtons Binomial, einer mathematischen Formel. Es ist derselbe Newton, der die Schwerkraft entdeckte. Newton muss sich sein Leben lang nicht gelangweilt haben!

Voraussetzungen

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Seien x und y zwei reelle Zahlen. Sei n eine ganze Zahl. Die Binomialformel von Newton lautet:

\left(x+y\right)^n\ =\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ x^ky^{nk}

Demonstration

Wir werden das Ergebnis per Induktion beweisen.

Initialisierung:
Wir zeigen daher das Ergebnis für n = 0:
Einerseits: (x+y)0 = 1. Als Erinnerung wird eine beliebige Zahl an die angehoben Macht 0 ist 1 wert.
Auf der anderen Seite,

\sum_{k=0}^0\binom{n}{k}\ x^ky^{nk}\=\ \binom{0}{0}x^0y^{0-0}\=\1\ \times\ 1\ \times\ 1

Damit ist die Initialisierung verifiziert! Wir können jetzt zur Vererbung übergehen.

Vererbung:
Wir nehmen an, dass für ein festes n die Eigenschaft wahr ist:

\forall x,y \in \R,(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^ky^{nk}

Wir wollen zeigen, dass die Eigenschaft auf der nächsten Stufe wahr ist, also dass

\forall\ x,y\ \in\mathbb{R},\ \left(x+y\right)^{n+1}\ =\ \sum_{k=0}^{n+1}\binom{ n+1}{k}\ x^{k\ }y^{n+1-k}

Beginnen wir mit den Berechnungen! Diese können ein wenig kompliziert sein, aber los geht's! Abwarten!

\begin{array}{l}(x+y)^{n+1}=\left(x+y\right)^n\left(x+y\right)\\ \\ \text{Wir verwenden l 'Wiederholungshypothese}\\ =\displaystyle \left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ x^ky^{nk}\right)\left(x+y\right) \ \\\ =\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(x^{k+1}y^{nk}+x^ky^{n+1-k } \right)\\\\ \text{Wir verwenden die Linearität der Summe}\\ =\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{k+1}y^ { nk}\ +\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n+1-k}\\\\ \text{Wir ändern den Index}\ \= \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}x^ky^{n+1-k}\ +\ \sum_{k=0}^n \binom {n}{k}x^ky^{n+1-k}\\\\ \text{Wir extrahieren die Extremwerte}\\ =\displaystyle \binom{n}{0}x^{n+ 1}y ^0\ +\ \sum_{k=1}^n\binom{n}{k-1}x^ky^{n+1-k}\ +\ \sum_{k=1}^n \binom{ n}{k}x^ky^{n+1-k}+\ \binom{n}{n}x^0y^{n+1}\\\\ \text{Wir verwenden die Linearität der Summe} \\ =\displaystyle \binom{n}{0}x^{n+1}y^0\ +\ \sum_{k=1}^n\left(\binom{n}{k-1 }\ + \ \binom{n}{k}\right)x^ky^{n+1-k}+\ \binom{n}{n}x^0y^{n+1}\\\end{ array}

Wir verwenden dann die Pascals Formel

\begin{array}{l}=\ \ \displaystyle\binom{n}{0}x^{n+1}y^0\ +\ \sum_{k=1}^n\binom{n+1} {k}x^ky^{n+1-k}+\ \binom{n}{n}x^0y^{n+1}\\ \\ \text{Hinweis } \displaystyle \binom{n } {n}\ =\ 1\ =\ \binom{n+1}{n+1}\\\\ \text{Und das }\displaystyle \binom{n}{0}\=\ 1\ =\ \ binom{n+1}{0}\\\\ \text{ Beachten Sie, dass die äußeren Terme Terme der Summe sind } \\ =\ \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\ biname{n +1}{k}\ x^ky^{n+1-k}\end{array}

Was macht das nach all diesen Berechnungen, man verifiziert die Vererbung gut.
Wir haben also gerade Newtons Binomial durch Induktion bewiesen.

Beispiele

Beispiel 1

Was ist es wert

 \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \?

Die Demonstration ist ganz einfach, wir wenden Newtons Binomial an:

\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ =\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ 1^k1^{nk}\ =\ \links (1+1\rechts)^n=2^n

Beispiel 2
Berechnen Sie die folgende Summe:

\sum_{k=0}^{\n}k\biname{n}{k}\ 

Stellen wir 2 Methoden vor:

Erste Methode : Über eine Indexänderung.
Durch Setzen von k' = n – k erhalten wir:

\begin{array}{l} \displaystyle \sum_{k=0}^{\ n}k\binom{n}{k}\ \=\ \text{(subscript change)}\ \sum_{k =0 }^n\left(nk\right)\ \binom{n}{nk}\\ \\ =\ \text{(Symmetrie von Binomialkoeffizienten )} \sum_{k=0}^n\left(nk\right)\ \binom{n}{k}\\ \\ =\displaystyle \sum_{k=0}^nn\ \binom{n}{ k}\ -\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\\ \\ =\displaystyle n\sum_{k=0}^n\ \binom{n}{k}\ -\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\\ \\ =\displaystyle n2^n-\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k} \end{array}

Fazit: Wir erhalten dann

\begin{array}{l} \displaystyle\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ =\ n2^n\ -\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{ n}{k}\ \\ \\ \text{Wir erhalten dann} \\ \displaystyle2\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ =\ n2^n\ \\ \\ \text{Und so schließlich}\\ \displaystyle\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\=\ \frac{n2^n}{2}=\ n2^{n-1 }\end{array} \\

Zweite Methode : Wir verwenden die folgende Formel:

k\ \biname{n}{k}\=\n\ \biname{n-1}{k-1}

Lassen Sie uns die Berechnungen ausführen:

\begin{array}{l} \displaystyle\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ \\ \\ \text{Der erste Term der Summe ist Null}\\ =\displaystyle \sum_{k=1}^nk\binom{n}{k}\ \ \\ \\ =\displaystyle \sum_{k=1}^nn\ \binom{n-1}{k-1}\\ \\ =\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}n\ \binom{n-1}{k}\ \\ \\ \text{Wir geben n, die Konstante, aus}\\ =\displaystyle n\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}\\ \\ \text{Wir verwenden das Ergebnis von Beispiel 1}\\ =n\ 2^{n -1 }\end{array}

Bonus: Newtons Binomial wird in anderen Fällen als reellen oder komplexen Zahlen angewendet.

Newtons Binomial angewendet auf Matrizen

Wenn A und B zwei Matrizen sind, die kommutieren. Wir können dann die gleiche Formel anwenden:

(A+B)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} A^kB^{nk}

Newtons Binomial angewendet auf Endomorphismen

Wenn u und v zwei kommutierende Endomorphismen sind. Wir haben auch das gültige Binom:

(u+v)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^kv^{nk}

wo bist duk bedeutet uor n mal zusammengesetzt

Newtons Binomial angewendet auf Körper und Ringe

Seien a und b zwei Elemente eines Körpers oder zwei Elemente, die in einem Ring kommutieren. Wir haben wieder das gültige Binomial:

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^kb^{nk}

Newtons Multinomial

Um weiter zu gehen: Hier ist die Formel des Multinomials von Newton. Es erweitert die n-te Potenz einer Summe mit n Faktoren:

(x_1+\ldots+x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\ldots+k_m=n} \binom{n}{k_1,k_2,\ldots,k_m}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\ldots x_m^{k_m}

Mit

 \biname{n}{k_1,k_2,\ldots,k_m}= \dfrac{n}{k_1!k_2!\ldots k_m!}

Wir bieten diese Demonstration auch als Übung an, die eine Übung in ist Aufzählung :

Newtons binomiale Verallgemeinerung

Trainings-Einheiten

Übung 1
Vereinfachen Sie für alle n die folgende Summe (achten Sie auf den Fall n=0)

\sum_{k=0}^n\left(-1\right)^{k\ }\biname{n}{k}

Übung 2
Berechnen Sie anhand von Beispiel 2

\sum_{k=0}^nk\left(k-1\right)\biname{n}{k}

Folgern

\sum_{k=0}^nk^2\biname{n}{k}

Übung 3
Berechnen Sie die folgende Summe

\sum_{k=0}^n\frac{\binom{n}{k}}{k+1}

Übung 4
Wie groß ist der Koeffizient von x3y6 ein (xy)9 ?

Übung 5
Berechnen Sie mit der Symmetrie der Binomialkoeffizienten

S_n = \sum_{k=0}^n\biname{2n+1}{2k}

Sie können auch verwenden

\begin{array}{l} \displaystyle T_n=\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2k+1}\\ \\ Rechnen\ S_{n\ }+\ T_{ n\ }\ und\ S_{n\ }-\T_n\end{array}

Übung 6 (Vorbereitungsstufe)

Vereinfache die folgende Summe

\left\lfloor\left(1+\sqrt{3}\right)^{2n+1}\right\rfloor

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