Inhalt dieses Artikels
Der heutige Artikel widmet sich Newtons Binomial, einer mathematischen Formel. Es ist derselbe Newton, der die Schwerkraft entdeckte. Newton muss sich sein Leben lang nicht gelangweilt haben!
Voraussetzungen
Menüangebote
Seien x und y zwei reelle Zahlen. Sei n eine ganze Zahl. Die Binomialformel von Newton lautet:
\left(x+y\right)^n\ =\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ x^ky^{nk}
Demonstration
Wir werden das Ergebnis per Induktion beweisen.
Initialisierung:
Wir zeigen daher das Ergebnis für n = 0:
Einerseits: (x+y)0 = 1. Als Erinnerung wird eine beliebige Zahl an die angehoben Macht 0 ist 1 wert.
Auf der anderen Seite,
\sum_{k=0}^0\binom{n}{k}\ x^ky^{nk}\=\ \binom{0}{0}x^0y^{0-0}\=\1\ \times\ 1\ \times\ 1
Damit ist die Initialisierung verifiziert! Wir können jetzt zur Vererbung übergehen.
Vererbung:
Wir nehmen an, dass für ein festes n die Eigenschaft wahr ist:
\forall x,y \in \R,(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^ky^{nk}
Wir wollen zeigen, dass die Eigenschaft auf der nächsten Stufe wahr ist, also dass
\forall\ x,y\ \in\mathbb{R},\ \left(x+y\right)^{n+1}\ =\ \sum_{k=0}^{n+1}\binom{ n+1}{k}\ x^{k\ }y^{n+1-k}
Beginnen wir mit den Berechnungen! Diese können ein wenig kompliziert sein, aber los geht's! Abwarten!
\begin{array}{l}(x+y)^{n+1}=\left(x+y\right)^n\left(x+y\right)\\ \\ \text{Wir verwenden l 'Wiederholungshypothese}\\ =\displaystyle \left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ x^ky^{nk}\right)\left(x+y\right) \ \\\ =\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(x^{k+1}y^{nk}+x^ky^{n+1-k } \right)\\\\ \text{Wir verwenden die Linearität der Summe}\\ =\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{k+1}y^ { nk}\ +\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n+1-k}\\\\ \text{Wir ändern den Index}\ \= \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}x^ky^{n+1-k}\ +\ \sum_{k=0}^n \binom {n}{k}x^ky^{n+1-k}\\\\ \text{Wir extrahieren die Extremwerte}\\ =\displaystyle \binom{n}{0}x^{n+ 1}y ^0\ +\ \sum_{k=1}^n\binom{n}{k-1}x^ky^{n+1-k}\ +\ \sum_{k=1}^n \binom{ n}{k}x^ky^{n+1-k}+\ \binom{n}{n}x^0y^{n+1}\\\\ \text{Wir verwenden die Linearität der Summe} \\ =\displaystyle \binom{n}{0}x^{n+1}y^0\ +\ \sum_{k=1}^n\left(\binom{n}{k-1 }\ + \ \binom{n}{k}\right)x^ky^{n+1-k}+\ \binom{n}{n}x^0y^{n+1}\\\end{ array}
Wir verwenden dann die Pascals Formel
\begin{array}{l}=\ \ \displaystyle\binom{n}{0}x^{n+1}y^0\ +\ \sum_{k=1}^n\binom{n+1} {k}x^ky^{n+1-k}+\ \binom{n}{n}x^0y^{n+1}\\ \\ \text{Hinweis } \displaystyle \binom{n } {n}\ =\ 1\ =\ \binom{n+1}{n+1}\\\\ \text{Und das }\displaystyle \binom{n}{0}\=\ 1\ =\ \ binom{n+1}{0}\\\\ \text{ Beachten Sie, dass die äußeren Terme Terme der Summe sind } \\ =\ \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\ biname{n +1}{k}\ x^ky^{n+1-k}\end{array}
Was macht das nach all diesen Berechnungen, man verifiziert die Vererbung gut.
Wir haben also gerade Newtons Binomial durch Induktion bewiesen.
Beispiele
Beispiel 1
Was ist es wert
\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \?
Die Demonstration ist ganz einfach, wir wenden Newtons Binomial an:
\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ =\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\ 1^k1^{nk}\ =\ \links (1+1\rechts)^n=2^n
Beispiel 2
Berechnen Sie die folgende Summe:
\sum_{k=0}^{\n}k\biname{n}{k}\
Stellen wir 2 Methoden vor:
Erste Methode : Über eine Indexänderung.
Durch Setzen von k' = n – k erhalten wir:
\begin{array}{l} \displaystyle \sum_{k=0}^{\ n}k\binom{n}{k}\ \=\ \text{(subscript change)}\ \sum_{k =0 }^n\left(nk\right)\ \binom{n}{nk}\\ \\ =\ \text{(Symmetrie von Binomialkoeffizienten )} \sum_{k=0}^n\left(nk\right)\ \binom{n}{k}\\ \\ =\displaystyle \sum_{k=0}^nn\ \binom{n}{ k}\ -\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\\ \\ =\displaystyle n\sum_{k=0}^n\ \binom{n}{k}\ -\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\\ \\ =\displaystyle n2^n-\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k} \end{array}
Fazit: Wir erhalten dann
\begin{array}{l} \displaystyle\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ =\ n2^n\ -\ \sum_{k=0}^nk\ \binom{ n}{k}\ \\ \\ \text{Wir erhalten dann} \\ \displaystyle2\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ =\ n2^n\ \\ \\ \text{Und so schließlich}\\ \displaystyle\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\=\ \frac{n2^n}{2}=\ n2^{n-1 }\end{array} \\
Zweite Methode : Wir verwenden die folgende Formel:
k\ \biname{n}{k}\=\n\ \biname{n-1}{k-1}
Lassen Sie uns die Berechnungen ausführen:
\begin{array}{l} \displaystyle\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\ \\ \\ \text{Der erste Term der Summe ist Null}\\ =\displaystyle \sum_{k=1}^nk\binom{n}{k}\ \ \\ \\ =\displaystyle \sum_{k=1}^nn\ \binom{n-1}{k-1}\\ \\ =\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}n\ \binom{n-1}{k}\ \\ \\ \text{Wir geben n, die Konstante, aus}\\ =\displaystyle n\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}\\ \\ \text{Wir verwenden das Ergebnis von Beispiel 1}\\ =n\ 2^{n -1 }\end{array}
Bonus: Newtons Binomial wird in anderen Fällen als reellen oder komplexen Zahlen angewendet.
Newtons Binomial angewendet auf Matrizen
Wenn A und B zwei Matrizen sind, die kommutieren. Wir können dann die gleiche Formel anwenden:
(A+B)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} A^kB^{nk}
Newtons Binomial angewendet auf Endomorphismen
Wenn u und v zwei kommutierende Endomorphismen sind. Wir haben auch das gültige Binom:
(u+v)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^kv^{nk}
wo bist duk bedeutet uor n mal zusammengesetzt
Newtons Binomial angewendet auf Körper und Ringe
Seien a und b zwei Elemente eines Körpers oder zwei Elemente, die in einem Ring kommutieren. Wir haben wieder das gültige Binomial:
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^kb^{nk}
Newtons Multinomial
Um weiter zu gehen: Hier ist die Formel des Multinomials von Newton. Es erweitert die n-te Potenz einer Summe mit n Faktoren:
(x_1+\ldots+x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\ldots+k_m=n} \binom{n}{k_1,k_2,\ldots,k_m}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\ldots x_m^{k_m}
Mit
\biname{n}{k_1,k_2,\ldots,k_m}= \dfrac{n}{k_1!k_2!\ldots k_m!}
Wir bieten diese Demonstration auch als Übung an, die eine Übung in ist Aufzählung :

Trainings-Einheiten
Übung 1
Vereinfachen Sie für alle n die folgende Summe (achten Sie auf den Fall n=0)
\sum_{k=0}^n\left(-1\right)^{k\ }\biname{n}{k}
Übung 2
Berechnen Sie anhand von Beispiel 2
\sum_{k=0}^nk\left(k-1\right)\biname{n}{k}
Folgern
\sum_{k=0}^nk^2\biname{n}{k}
Übung 3
Berechnen Sie die folgende Summe
\sum_{k=0}^n\frac{\binom{n}{k}}{k+1}
Übung 4
Wie groß ist der Koeffizient von x3y6 ein (xy)9 ?
Übung 5
Berechnen Sie mit der Symmetrie der Binomialkoeffizienten
S_n = \sum_{k=0}^n\biname{2n+1}{2k}
Sie können auch verwenden
\begin{array}{l} \displaystyle T_n=\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2k+1}\\ \\ Rechnen\ S_{n\ }+\ T_{ n\ }\ und\ S_{n\ }-\T_n\end{array}
Übung 6 (Vorbereitungsstufe)
Vereinfache die folgende Summe
\left\lfloor\left(1+\sqrt{3}\right)^{2n+1}\right\rfloor
Dieser Artikel hat Sie mehr? Hier sind unsere weiteren Artikel zum Thema Mathematikunterricht:
1 KOMMENTARE