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Mengenlehre: Was ist das kartesische Produkt?

Das kartesische Produkt ist ein wesentlicher Begriff, den man in der Mengenlehre kennen sollte. Lassen Sie uns gemeinsam seine Definition entdecken.

Definition des kartesischen Produkts

Wir nennen das kartesische Produkt zweier Mengen A und B (es wird als A x B bezeichnet) die Menge der Paare (a;b), wobei a ein Element von A und b ein Element von B ist. Mathematisch wird dies geschrieben:

A \times B = \{(a,b) ,a \in A, b\in B\}

Wenn A und B endlich sind, ist die Kardinalität von A x B das Produkt der Kardinalität von A und der Kardinalität von B. Wenn also die Kardinalität von A p ist, die von B q, dann ist die Kardinalität von A x B pq .

\#(A\times B) = \#A \times \#B

Hier sind einige zusätzliche Informationen:

  • Das kartesische Produkt ist nicht kommutativ, E x F ist im Allgemeinen verschieden von F x E, sie sind auch verschieden, wenn F von E verschieden ist
  • Wenn F = E ist, können wir die Notation E x E durch E ersetzen2
  • Wir können ein kartesisches Produkt mit n Termen definieren:
A_1 \times \ldots \times A_n = \{ (a_1,\ldots,a_n), a_1 \in A_1, \ldots, a_n \in A_n \}
  • Und wenn alle A'si gleich A sind, haben wir auch die folgende Notation: A1 x … x An = An was viel komprimierter ist.

Beispiele

  • Wenn A = {a,b} und B = {1,2,3}, dann besteht die aus dem kartesischen Produkt resultierende Menge A x B aus den folgenden 6 Elementen: A x B = {(a,1); (a,2); (a,3); (b,1); (b,2); (b,3)}. Beachten Sie, dass sich B x A ziemlich von A x B unterscheidet und gleich {(1,a); (2,a); (3,a); (1, b); (2,b); (3,b)}
  • Wenn A und B gleich der Menge der reellen Zahlen sind, definieren wir
\mathbb{R}^2

von

\mathbb{R}^2 = \{(a,b), a \in \R, b\in \R\}

Das kartesische Produkt in SQL

Um die Verbindung mit dem herzustellen SQL, das Gelenk Cross Join entspricht genau dem kartesischen Produkt. Wenn wir eine erste Tabelle mit k Zeilen und eine zweite Tabelle mit l Zeilen haben, dann ergibt die Kreuzverknüpfung zwischen diesen beiden Tabellen eine Tabelle mit kxl Zeilen, die dem kartesischen Produkt der 2 Zeilen entspricht.

5 KOMMENTARE

    • Guten Tag,
      Und danke für deine Frage! Die Antwort ist ganz einfach:
      Wir definieren E^n als E x E^(n-1). Durch Induktion erhalten wir, dass es E x E x … x E n mal ist
      E^(2n) also E x E x … x E 2n mal
      Wir haben also: E^nx E^n = E x E x .. x E 2n mal = E^(2n)
      Beantwortet das deine Frage?

      • Es tut mir leid, aber das \= war für \not=
        Es war mein Highschool-Lehrer, der mir das gesagt hat, und ich habe es nicht wirklich verstanden. Ich verstehe, dass sie bis zu einem Isomorphismus gleich sind, aber nicht, warum sie nicht gleich sind. Vielen Dank im Voraus und einen schönen Abend.

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