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Natürlicher Logarithmus
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Der natürliche Logarithmus: Kurs, Übungen und Taschenrechner

Bestimmung

Als Kehrwert (S-Terminal)

Der natürliche Logarithmus ist die reziproke Bijektion von die Exponentialfunktion, definiert von R+* in R.

\begin{array}{l}\forall x\in \mathbb{R}_+^* , \exp (\ln (x))= x\\ \forall x\in \mathbb{R},\ln ( \exp(x)) = x \end{array}

Diese Funktion wird mit ln bezeichnet.

\forall x \in \R_+^*, \ln:x \mapsto \ln x

Als Primitiv

Der natürliche Logarithmus ist das Primitive definiert auf den positiven reellen von die Umkehrfunktion so dass ln(1) = 0

\begin{array}{l}\forall x \in\mathbb{R}_+^*, \ln^{\prime}(x)\ =\dfrac{1}{x}\\ \ln\left( 1\right) = 0\end{array}

graph

Hier ist der Graph der Logarithmusfunktion:

Logarithmus

Taschenrechner

Möchten Sie bestimmte Werte des Logarithmus berechnen? Hier ist ein Rechner, um es zu tun

Propriétés

Der Logarithmus ist eine streng steigende Funktion auf seiner definierenden Menge.
In(1) = 0
Der Logarithmus ist eine differenzierbare Funktion auf seiner definierenden Menge und seine Ableitung ist die Umkehrfunktion :

\forall x \in \R_+^*, \ln'(x) = \frac{1}{x}

Begrenztheit

Hier sind die Grenzen der Logarithmusfunktion an ihren Grenzen:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln\left(x\right) = -\infty\\ \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x) = +\\infty\end{array}

Der Logarithmus hat ein sehr langsames Wachstum, hier sind andere Grenzen zu beachten:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln\left(x\right)}{x}=0\\ \displaystyle\forall n>0, \lim_{ x\to+\infty} \frac{\ln\left(x\right)}{x^n}=0\\ \displaystyle\lim_{x\to0} x\ln\left(x\right)= 0\ \ \displaystyle\forall n >0,\lim_{x\to0}\ x^{n}\ln\left(x\right) = 0\\ \displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\ln\ left(1+x\right)}{x}= 1\end{array}

Berechnungseigenschaften

Genau wie der Exponential hat der Logarithmus verschiedene nützliche Eigenschaften:

\begin{array}{l}\forall a,b \in \mathbb R_+^* \\ \ln(ab)=\ln(a)+ \ln\left(b\right)\\ \ln\left (a^n\right) =n \ln\left(a\right)\\ \ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln\left(a\right)\\ \ ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln\left(a\right)-\ln\left(b\right)\\ \ln(\sqrt{a}) = \dfrac{ 1}{2} \ln ein \end{array}

Wir haben auch Reziprozität mit dem Exponential:

\begin{array}{l}\forall x \in \mathbb{R}_+^* , \exp \left(\ln \left(x\right)\right)=x\\ \forall x \in \ mathbb{R},\ln \left(\exp \left(x\right)\right) =x \\ \forall a \in \R_+^* \forall b \in \R, a^b = \exp (b\ln(a))\end{array}

Beispiele

Beispiel 1
Löse die folgende Gleichung:

\ln\links(3x+1\rechts)+\ln\links(4x+3\rechts)\ =\ \ln\links(x\rechts)\ 

Erster Punkt: Wir achten darauf, die Funktion dort gut zu studieren, wo sie definiert ist. Was drin ist, muss also positiv sein. Daher müssen diese 3 Bedingungen überprüft werden:

\begin{array}{l}3x+1>0\ \Leftrightarrow 3x >-1 \Leftrightarrow\ x> -\dfrac{1}{3}\\ 4x+3>0\ \Leftrightarrow 4x>-3 \Leftrightarrow x>-\dfrac{3}{4}\\ x>0\end{array}

Damit diese 3 Bedingungen verifiziert werden können, genügt es, dass x > 0 ist.
Nun zur Auflösung:

\begin{array}{ll}&\ln \left(3x+1\right)+\ln \left(4x+3\right)= \ln \left(x\right)\\ \iff& \ln \left (\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)\right) = \ln \left(x\right)\\ \iff & \ln \left(12x^2+9x+4x+ 3 \right) = \ln \left(x\right)\\ \iff&\ln \left(12x^2+13x+3\right)=\ln \left(x\right)\\ \iff& 12x^2 + 13x +3= x\\ \iff& 12x^2+12x+ 6 = 0\\ \iff & 2x^2+2x+1= 0\end{array}

Wir werden dann auf eine quadratische Gleichung reduziert:

\Delta\=\2^{2\ }-2\ \times4\times1\=\-4\ <\0\ 

Die Gleichung hat also keine reelle Lösung.

Beispiel 2
Löse die folgende Gleichung. Finden Sie alle ganzen Zahlen n, so dass:

1-\left(\frac{4}{5}\right)^n\ge\ 0.99

Hier ist die Lösung für dieses Problem:

\begin{array}{ll}&1-\left(\frac{4}{5}\right)^n\ge 0.99\\ \iff& 0.01-\left(\frac{4}{5}\right)^ {n }\ge 0\\ \iff& 0.01 \ge \left(\frac{4}{5}\right)^n\\ \iff & \exp \left(n \ln \left(\frac{4} {5}\right)\right) \le \ 0.01\\ \iff & n \ln \left(\frac{4}{5}\right) \le \ln \left(0.01\right)\\ &\ text{(Wir wenden den Logarithmus an, der eine steigende Funktion ist)} \\ \iff & n \ge \frac{\ln \left(0.01\right)}{\ln \left(\frac{4}{5}\ right)}\\ & \text{Wir ändern die Bedeutung der Ungleichung weil } \ln \left(\frac{4}{5}\right)<0)\\ &\text{Or, } \dfrac{ \ ln \left(0.01\right)}{\ln \left(\frac{4}{5}\right)} \approx 20.63\\ &\text{So } n\ \ge \ 21\end{array}

Trainings-Einheiten

Übung 1
Wir legen ein Kapital mit 5 % pro Jahr durch Zinseszins an, das heißt, dass jedes Jahr die Zinsen zum Kapital hinzugefügt werden. Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital verdoppelt? Wenn Sie mehr wissen möchten, lesen Sie unseren Artikel auf wie man reich wird.

Übung 2
Löse die folgenden Gleichungen:

\begin{array}{l}\ln\left(3x-2\right) + \ln\left(2x-1\right) = \ln\left(x\right)\\ \ln\left(4x+ 3 \right)+\ln\left(x\right) =0\\ X^{2}-3X-4 =0.\\ \text{Leite die Lösungen von } \\ e^{2x}-3e ^x ab -4=0\\ \left(\ln\left(x\right)\right)^2-3\ln\left(x\right)-4=0\end{array}

Übung 3
Bestimme die natürlichen Zahlen so, dass

2^n \ge n^2

Übung 4
Finden Sie das Vorzeichen der folgenden Ausdrücke auf dem angegebenen Intervall I

\begin{array}{ll}e^{2x}-2e^x& I =\mathbb{R}\\ \ln\left(4-x^2\right)& I = ]-2;2[\\ \ln\left(\dfrac{3+x}{3-x}\right)& I = ]0;3[\end{array}

Übung 5 (Vorbereitungsstufe)
Bestimme alle Paare natürlicher Zahlen (n,p) so, dass

n^{p\ }=\ p^n\ und\ n\ \ne\ p

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