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Kreisgleichung: Ablauf, Methode und korrigierte Aufgaben

Dieser Artikel soll zeigen, wie man die Gleichung eines Kreises berechnet und erkennt, um welchen Kreis es sich handelt, durch den Kurs, Beispiele und korrigierte Übungen.

Bestimmung

Die kartesische Gleichung des Kreises in einer Ebene wird in der Form geschrieben:

(x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = R^2 

Avec:

  • (xA,yA) Mittelpunkt des Kreises
  • R der Radius des Kreises

Wenn wir also den Radius des Kreises und seinen Mittelpunkt kennen, ist es einfach, seine kartesische Gleichung aufzustellen

Korrigierte Übungen und Methoden

Finden Sie die Gleichung des Kreises von seinem Mittelpunkt zu seinem Radius

Wir haben die folgende Aussage: Betrachten Sie den Kreis mit Radius 2 und Radius (1,3). Finden Sie die Gleichung dieses Kreises. Wir haben gemäß der Definition, dass die Gleichung geschrieben wird:

(x-1)^2 + (y-3)^2 = 2^2

Wir werden dann diese Gleichung entwickeln, um sie zu vereinfachen:

x^2 -2x +1 +y^2 -6y +9 = 4

Dann werden wir vereinfachen und alle Elemente auf der linken Seite platzieren:

x^2 +y^2 -2x-6y +6 = 0

Damit haben wir die Kreisgleichung mit Mittelpunkt (1,3) und Radius 2 gefunden.

Finden Sie den Kreis aus seiner Gleichung

Hier die typische Aussage:

Finden Sie den Kreis, der der folgenden Gleichung zugeordnet ist:

x^2 - 2x + y^2 +6y = 0 

Dazu verwenden wir die kanonische Form für die Terme in x:

\begin{array}{ll} x^2 - 2 x & = x^2 - 2x +1 - 1 \\ &= (x-1)^2 -1 \end{array}

Dann die da drin:

\begin{array}{ll} y^2 +6 x & = y^2 +6y +9 - 9 \\ &= (y+3)^2 -9 \end{array}

Wenn wir die Terme kombinieren, haben wir jetzt:

 (x-1)^2 -1 + (y+3)^2 -9 = 0

Wir übergeben die Konstanten rechts:

 (x-1)^2 + (y+3)^2 = 10

Was wir in der Form umschreiben:

 (x-1)^2 + (y+3)^2 = (\sqrt{10})^2

Es ist also der Kreis mit Mittelpunkt (1,-3) und Radius √10

Überprüfen Sie, ob ein Punkt zu einem Kreis gehört

Aussage: Lassen Sie den Kreis der Gleichung

(x-2)^2+(y-4)^2 = 25

Gehört der Punkt (0;5) zum Kreis?

Dazu ersetzen wir x und y durch die Koordinaten unseres Punktes. Wir erhalten dann:

(0-2)^2 +(5-4)^2 = 5 \neq 25

Der Punkt gehört also nicht zum Kreis, weil das linke Glied ungleich 25 ist.

Trainings-Einheiten

Übung 1

Schreiben Sie die Kreisgleichung aus den Koordinaten des Mittelpunkts Ω​ und dem Radius R:

\begin{array}{l} 1)\ \Omega = (1;6) , R= 4\\ 2)\ \Omega = (5;3) , R= 2\\ 3)\ \Omega = (7 ;4) , R= 6\\ \end{array}

Übung 2

Geben Sie aus dem Durchmesser [AB] die Kreisgleichung an:

\begin{array}{l} 1)\ A= (1;6) , B=(2;3)\\ 2)\ A= (2;5) , B=(3;2)\\ 3) \ A= (4;5) , B=(1;1)\\ \end{array}

Übung 3

Schreiben Sie die Kreisgleichung aus den Koordinaten des Mittelpunkts Ω​ und einem Punkt A:

\begin{array}{l} 1)\ \Omega = (1;6) , A= (1;3)\\ 2)\ \Omega = (2;4) , A= (3;1)\\ 3)\ \Omega = (4;2) , A= (5;5)\\ \end{array}

Übung 4

Bestimmen Sie in einer orthonormalen Referenz der Ebene die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius des Kreises, dessen Gleichung lautet:

x^2+y^2 -12x + 4y -3 = 0 

Übung 5

Bestimmen Sie in einer orthonormalen Referenz der Ebene die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius des Kreises, dessen Gleichung lautet:

\begin{array}{l} 1)\ x^2+y^2 = 0\\ 2)\ x^2 + y^2 = - 1\\ 3)\ (x-3)(x+2) +(y-5)(y+6)=0 \end{array}

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