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Scheibe, CD
Vorbereitungskurs

Gershgörin-Scheiben und Ort der Eigenwerte

Im Folgenden ist A eine beliebige Matrix der Größe n und mit Koeffizienten im Körper K von reellen oder komplexen Zahlen.
Wenn Sie ihn noch nicht gelesen haben, empfehlen wir Ihnen, zuerst den Artikel über Hadamard zu lesen.

Hadamards Lemma

Stellen wir die folgende Menge ein:

\forall{i}\in{\llbracket 1,n \rrbracket}, R_i=\sum_{1\leq{j}\leq{n}, j\neq{i}} |a_{i,j}|

Dann sagt uns das Lemma von Hadamard, dass für alle i, wenn der Modul der Diagonalkoeffizienten strikt größer als diese Größe ist: A invertierbar ist. Mit anderen Worten,

\forall{i}\in{\llbracket 1,n \rrbracket}, |a_{i,i}|>R_i \Rightarrow A\in GL_n(\mathbb{C})

Für die Kultur wird eine Matrix, die diese Ungleichheit erfüllt, als „streng diagonal dominant“ bezeichnet. Und so übersetzt sich Hadamards Lemma wie folgt:

Jede Matrix mit streng dominanter Diagonale ist invertierbar.

Jetzt, da wir dieses mächtige Werkzeug haben, können wir mit der Definition von Gershgörin-Scheiben und der Aussage des sie betreffenden Theorems fortfahren, die wir beweisen werden.

Semion Gershgorin

Bevor wir darüber sprechen, was er getan hat, ist es sicherlich gut zu wissen, wer es ist.

Semion Aronovich Guerchgorin, auf Deutsch Gershgorin geschrieben, war ein sowjetischer Mathematiker belarussischer Herkunft. Er wurde 1901 geboren und starb 32 im Alter von 1933 Jahren. Er war Professor am Leningrader Institut für Maschinenbau. Viel mehr gibt es über ihn nicht zu sagen.

Gershgörin-Scheiben

Sei K der Körper von Komplexen oder reellen Zahlen. Wir nennen Gershgörins i-te Scheibe die folgende Menge:

D_i=\{\ x\in K\ |\ \lvert a_{i,i}-x\rvert \leq R_i\ \}

Die Definition dieser Größe ist der zentrale Punkt eines Verfahrens, das die globale Approximation der Eigenwerte einer Matrix erlaubt. Allerdings ermöglicht dieses Verfahren nicht, jeden Eigenwert einzeln zu approximieren. Es ermöglicht, die Gesamtheit der Teile einzubeziehen, die die Eigenwerte der untersuchten Matrix enthalten können.

Satz von Gershgörin (Aussage)

Unter Verwendung der oben eingeführten Notationen besagt der Satz:

Der Satz von Eigenwerten einer Matrix A ist in der Vereinigung von Gershgörin-Scheiben enthalten.

Mit anderen Worten:

\lambda\in{Sp(A)} \Rightarrow \lambda\in\bigcup_{1\leq{i}\leq{n}}D_i

Oder,

Sp(A)\subset\bigcup_{1\leq{i}\leq{n}}D_i

dann,

\lambda\in{Sp(A)} \Rightarrow \exists{i_0}\in{\llbracket 1,n \rrbracket}, \lambda\in{D_{i_0}}

Demonstration 1 (mit Hadamard)

Nimm einen Eigenwert unserer Matrix A. Dann

A-\lambda I_n \notin{GL_n(K)}

Dann gilt nach Hadamards Lemma

\exists{i_0}\in{\llbracket 1,n \rrbracket}, |a_{i_0,i_0}-\lambda|\leq R_i

Das heißt,

\lambda\in\{\x\in K\ |\ \lvert a_{i_0,i_0}-x\rvert \leq R_i\ \}=D_{i_0}

So endlich,

\lambda\in\bigcup_{1\leq{i}\leq{n}}D_i

Daher

Sp(A)\subset\bigcup_{1\leq{i}\leq{n}}D_i

Demonstration 2 (ohne Hadamard)

Wenn wir das Lemma von Hadamard jemals leider nicht haben, passen wir den Beweis des Lemmas an, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen.

Wir nehmen einen Eigenwert unserer Matrix A. Per Definition:

\exists{X}\in(\mathbb{R}^n)^*\ | AX=\lambda X\ \ \ (*)

Da Vektor X nicht Null ist:

\exists{i_0}\in{\llbracket 1,n \rrbracket}, |x_{i_0}|=\max_{i\in{\llbracket 1,n \rrbracket}}|x_i| >0

Wir betrachten die i_0-te Zeile der Gleichheit (*), was uns ergibt:

\sum_{j=1}^n a_{i_0,j}x_j=\lambda x_{i_0}

Daher

\sum_{j\neq{i_0}} a_{i_0,j}x_j=x_{i_0}(\lambda-a_{i_0,i_0})

So dass,

|x_{i_0}|.|\lambda-a_{i_0,i_0}| \leq \sum_{j\neq{i_0}} |a_{i_0,j}|.|x_j| \leq |x_{i_0}|\sum_{j\neq{i_0}} |a_{i_0,j}|

Das heißt,

|\lambda-a_{i_0,i_0}| \leq \sum_{j\neq{i_0}} |a_{i_0,j}|

für,

x_{i_0}\neq{0}\ \ \ \&\ \ \ \forall{i}\in{\llbracket 1,n \rrbracket}, |x_{i_0}|\geq |x_i|

Also haben wir,

\lambda\in{D_{i_0}}\subset\bigcup_{i=1}^n D_i

CQFD.

Äquivalenz zwischen Hadamard und Gershgörin

Die Demonstrationen sind sehr ähnlich, einige mögen eine Äquivalenz gespürt haben. Was wahr ist.

Direkte Beteiligung:

Wir nehmen an, dass wir eine Matrix A mit streng dominanter Diagonale haben, sie ist also nach dem Lemma von Hadamard invertierbar.

Nimm einen Eigenwert von A. Dann

0\in Sp(A-\lambda.I_n=B)

dann,

B \notin GL_n(K)

Somit ist B durch die Kontraposition von Hadamards Lemma nicht streng diagonal dominant.

Daher

\exists{i_0}\in{\llbracket 1,n \rrbracket}, |a_{i_0,i_0}-\lambda|\leq R_{i_0}

Wir haben das Ergebnis direkt.

Gegenseitige Implikation:

Sei A eine strikt dominante Diagonale. So,

0\notin \bigcup_{i=1}^n D_i

Nach dem Satz von Greshgörin ist 0 also kein Eigenwert von A.

So wie

\det(A)=\prod_{i=1}^r\lambda_i^{m_i}

Wir haben,

\det(A)\neq 0

So dass,

A\in GL_n(K)

Verknüpfung mit den Wurzeln eines Polynoms

Im Rahmen einer Demonstration des Cayley-Hamilton-Theorems haben Sie sicherlich gesehen, was eine Begleitmatrix ist, die im Folgenden mit C bezeichnet wird. Ansonsten siehe Anfang Centrale 1 MP 2019.

Das charakteristische Polynom dieser Matrix ist:

\chi_C=X^n+\sum_{i=0}^{n-1}c_iX^i

Der Satz von Cayley-Hamilton sagt uns, dass die Eigenwerte einer Matrix die Wurzeln ihres charakteristischen Polynoms sind.

Indem wir den Satz von Gershgörin auf die Begleitmatrix anwenden, können wir daher ein Ergebnis erhalten, das die Position der Wurzeln jedes Polynoms angibt.

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