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ENS
Korrigierte Übungen

Korrigierte Übung: ENS 2022 mündlich

Hier ist die detaillierte Korrektur einer Wahrscheinlichkeitsübung, die bei der mündlichen ENS 2022 fallen gelassen wurde, aber hauptsächlich eine Zählübung ist, die mit Kongruenzen gemischt ist.

Zustände

Wahrscheinlichkeiten in Z/nZ

Wenn Sie weitere 2022 Fallen Topic Statements wünschen, siehe unseren Artikel zu diesem Thema.

korrigiert

Fall 1: n ist eine Potenz einer Primzahl

Beginnen wir mit dem Fall

n = p^{\alpha}, \Z/p^{\alpha}\Z

Mit p prime. Wir haben folgende Beziehung:

ab = 0 [p^\alpha] \iff v_p(ab) \geq \alpha

Wo Vp ist die p-adische Bewertung

Wir berechnen dann die folgende Wahrscheinlichkeit:

\mathbb{P}(v_p(X)=i) 

Mit X folgt eine Zufallsvariable einem einheitlichen Gesetz auf

\{ 0, \ldots, p^{\alpha} - 1 \}

Für ein

p^{\alpha -k}

Vielfache von pk in diesem Intervall. Also haben wir

\begin{array}{ll} mult(p^{k})-mult(p^{k+1})& = p^{\alpha-k}-p^{\alpha-k-1}\\ & =p^{\alpha-k-1}(p-1) \end{array}

Somit

\mathbb{P}(v_p(X) = i ) = \dfrac{p^{\alpha-i-1}(p-1)}{p^{\alpha}}= \dfrac{p-1}{ p^{i+1}}

Damit erhalten wir für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

\begin{array}{ll} \mathbb{P}(ab=0) &=\displaystyle \sum_{i=0}^{\alpha} \mathbb{P}(ab = 0 \cap v_p(a) = i)\\ &=\displaystyle \sum_{i=0}^{\alpha} \mathbb{P}_{v_p(a) =i}(v_p(ab) \geq \alpha )\mathbb{P}( v_p(a) = i)\\ &=\displaystyle \sum_{i=0}^{\alpha}\dfrac{p-1}{p^{i+1}}\mathbb{P}( v_p(b ) \geq \alpha- i)\\ &=\displaystyle \sum_{i=0}^{\alpha}\dfrac{p-1}{p^{i+1}}\sum_{k= \alpha- i}^{\alpha} \dfrac{p-1}{p^{k+1}}\\ &=\displaystyle (p-1)^2 \sum_{i=0}^{\alpha}\sum_ {k= \alpha-i}^{\alpha} \left(\dfrac{1}{p}\right)^{k+i+2}\\ &=\displaystyle (p-1)^2 \sum_ {i=0}^{\alpha}\left( \dfrac{1}{p} \right)^{i+2}\left( \dfrac{1}{p} \right)^{\alpha-i }\dfrac{1-\left(\frac{1}{p}\right)^{i+1}}{1-\frac{1}{p}}\\ &=\displaystyle (p-1) ^2 \sum_{i=0}^{\alpha}\left( \dfrac{1}{p} \right)^{\alpha+2}\dfrac{1-\left(\frac{1}{p }\right)^{i+1}}{\frac{p-1}{p}}\\ &=\displaystyle (p-1) \sum_{i=0}^{\alpha}\left( \ dfrac{1}{p} \right)^{\alpha+1}\left(1-\left(\frac{1}{p}\right)^{i+1}\right)\\ &=\ Anzeigestil \dfrac{(p-1)}{p^{\alpha+1}}\sum_{i=0}^{\alpha}\left(1-\left(\frac{1}{p}\right)^{i+1}\right)\\ &=\displaystyle \dfrac{( p-1)}{p^{\alpha+1}}(\alpha+1 -\dfrac{1}{p}\dfrac{1-\left(\frac{1}{p}\right)^{ \alpha+1}}{1-\frac{1}{p}})\\ &=\displaystyle \dfrac{1}{p^{\alpha+1}}\left((p-1)(\ alpha+1 )-1-\left(\frac{1}{p}\right)^{\alpha+1}\right) \end{array}

Allgemeiner Fall

Wir zerlegen n mit dem Satz von Primzahlen :

n = p_1^{\alpha_1} \ldots p_r^{\alpha_r}

Wir werden die Tatsache nutzen, dass

\Z / n \Z \simeq \Z / p_1^{\alpha_1} \Z \times \ldots \times \Z /p_r^{\alpha_r}\Z

Es gilt die folgende Äquivalenz:

ab = 0 [n]\iff \forall i \in \{1, \ldots,r\},ab = 0[p_i^{\alpha_i}]

Wir haben also dank der Unabhängigkeit

\mathbb{P}(ab=0[n])=\prod_{i=1}^n\mathbb{P}(ab=0[p_i^{\alpha_i}])

Damit können wir die Korrektur dieser ENS-Übung abschließen

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