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Satz von Rolle
Kurs Vorbereitungskurs Korrigierte Übungen

Satz von Rolle: Beweis und korrigierte Aufgaben

Was ist der Satz von Rolle? Dieser Artikel wird es ermöglichen, dieses Theorem zu formulieren und zu demonstrieren sowie einige Übungen zu diesem Thema zu korrigieren.

Aussage des Satzes von Rolle

Seien a und b zwei reelle Zahlen, so dass a < b und f eine stetige reellwertige Funktion auf [a,b] und differenzierbar auf ]a,b[, so dass f(a) = f(b).
Dann existiert (mindestens) ein reelles c in ]a,b[ mit f'(c) = 0

Beweis des Satzes von Rolle

Nach dem Zwischenwertsatz ist af([a,b])=[m,M] mit

m = \min_{x \in [a,b]} f(x)

et

M = \max_{x\in[a,b]}f(x)

Wenn m = M, dann ist f konstant und in diesem Fall:

\forall x \in ]a,b[, f'(x)= 0

Andernfalls, wenn m < M, da f(a) = f(b), dann können wir nicht haben

m = f(a), M = f(b)

Auch wenn es bedeutet, m zu berücksichtigen, können wir immer davon ausgehen

M\neq f(a), M\neq f(b)

Wie dieImage an seine Grenzen stößt, haben wir:

\existiert c \in ]a,b[, f(c) = M

Betrachten Sie nun h so, dass

[ch,c+h] \subset ]a,b[

Wir haben für alle positiven oder negativen h:

f(c+h) \leq f(c) = M 

Wir folgern daher für h > 0:

\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq 0

Umgekehrt, wenn h < 0:

\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}\geq 0

Tatsächlich ist der Zähler positiv und der Nenner negativ.
Indem wir nun h bei oberen Werten und bei niedrigeren Werten gegen 0 tendieren lassen, erhalten wir:

f'(c) \geq 0 

und auch

f'(c) \leq 0

Das bedeutet, dass wir darauf schließen können

f'(c) = 0

Damit haben wir den Satz von Rolle bewiesen.

Korrigierte Übungen

Hier nun korrigierte Aufgaben zum Satz von Rolle. Wenn Sie Äußerungen sehen möchten, schauen Sie sich stattdessen unsere Ableitungsübungen an

Diese Übungen sind in MPSI durchführbar. Hier die Aussagen:

Übung 936

Anwendung des Satzes von Rolle

Sei P das Polynom

P(X) = X^n+aX+b

Lassen Sie uns mit dem Absurden argumentieren. Wenn dieses Polynom streng genommen mehr als 3 reelle Wurzeln zulässt. Wir können a, b, c und d so finden

a < b < c < d , P(a)=P(b)=P(c)=P(d) = 0

Der Satz von Rolle wird dreimal angewendet, zwischen a und b, dann zwischen b und c, dann zwischen c und d. Was bedeutet, dass wir erhalten:

\existiert e \in ]a,b[, f \in ]b,c[,g\in ]c,d[, P'(e)=P'(f)=P'(g) = 0

Beachten Sie, dass :

e<f<g

Wenn wir das noch einmal machen, haben wir:

\existiert h \in ]e,f[, k \in ]f,g[, P''(h) = P''(k) = 0

Mit daher:

h < k 

Allerdings haben wir:

P'(X) = nX^{n-1} + a

dann,

P''(X) = n(n-1)X^{n-2}

Es ist daher ziemlich offensichtlich, dass P” nur eine Wurzel hat: 0. Wir haben dann einen Widerspruch: Wir können nicht 2 Wurzeln h und k mit h < k haben.

Fazit: P lässt höchstens 3 reelle Wurzeln zu

Übung 938

Bösartige Anwendung des Satzes von Rolle

Betrachten Sie die durch definierte Funktion g

\forall x \in [a,b], g(x) = e^{-x} (f(x)+f'(x))

Nun haben wir folgende Eigenschaft:

g(a) = e^{-a} (f(a)+f'(a) ) = e^{-b}(f(b)+f'(b)) = g(b)= 0 

g ist tatsächlich differenzierbar. Wir können daher den Satz von Rolle darauf anwenden. Jetzt berechnen wir seine Ableitung:

\begin{array}{ll} g'(x)& =-e^{-x} (f(x)+f'(x)) + e^{-x} (f'(x)+f' '(x)) \\ &= e^{-x} (f''(x) - f(x)) \end{array}

Nach dem Satz von Rolle erhalten wir also:

\begin{array}{ll} &\exists c \in ]a,b[, g'(c) = 0 \\ \iff & \exists c \in ]a,b[, e^{-c} ( f''(c) - f(c)) = 0\\ \iff & \existiert c \in ]a,b[, f''(c) - f(c) = 0\\ \iff & \exists c \in ]a,b[, f''(c) = f(c) \end{array}

Das ist das gewünschte Ergebnis, mit dem wir diese Übung abschließen können!

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