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PPCM und Reihenkonvergenz
Korrigierte Übungen Serie korrigierte Übungen

Korrigierte Aufgabe: Konvergenz von Reihen und PPCM

Hier ist die Aussage einer Übung, die wir bei einer von einem PPCM definierten Reihenkonvergenzberechnung korrigieren werden. Es ist ein Übung im Zusammenhang mit dem Serienkapitel. In Rechnen muss man auf dem Laufenden sein, insbesondere in LCM. Es ist eine Hochschulübung im ersten oder zweiten Jahr. Hier ist die Aussage:

Hier ist die Lösung

Verwenden wir die folgende Ungleichung, die wir beweisen werden. Wir notieren d(n) die Anzahl der Teiler der ganzen Zahl n. Wir haben :

d(n) \leq 2 \sqrt{n}

Beweisen wir diese Ungleichung. Sei d ein Teiler von n. Es gibt eine ganze Zahl k, so dass

dk=n

Unbedingt ggf

d \leq \sqrt{n}

Alors

k\geq\sqrt{n}

In der Tat, denn wenn

d \leq \sqrt{n}, k < \sqrt{n} \text{ dann } dk < n 

Ebenso, wenn

d \geq \sqrt{n}

Alors

k\leq\sqrt{n}

Also ist bei jedem Teilerpaar mindestens einer kleiner als die Wurzel von n. Wir haben also höchstens:

\begin{array}{l} \sqrt{n} \text{ Teiler kleiner als n}\\ \sqrt{n} \text{ Teiler größer als n} \end{array}

Daher die eingangs angekündigte Ungleichung:

d(n) \leq 2 \sqrt{n}

Beachte nun p = lcm(a1,…,beimn). pa mindestens n Teiler, das sind die ai. Wir werden daher haben:

n \leq d(p) 

Nun, gemäß der Ungleichung, die wir zu Beginn gezeigt haben:

d(p) \leq 2 \sqrt{p}

Dies ermöglicht uns, eine untere Grenze von p zu haben:

\begin{array}{l} n \leq 2 \sqrt{p}\\ \Leftrightarrow n^2 \leq 4 p\\ \Leftrightarrow \dfrac{n^2}{4} \leq p \end{array}

Dann ergibt sich folgende Steigerung:

 \dfrac{1}{ppcm(a_1,\ldots,a_n)}=\dfrac{1}{p} \leq \dfrac{4}{n^2}

Wir haben also durch eine bekannte Riemannsche Reihe eingegrenzt. Wir können daher die Konvergenz dieser durch ein LCM definierten Reihe bestätigen. Die Übung ist nun gelöst.

Verallgemeinerung

Inwieweit kann das in der vorherigen Übung erhaltene Ergebnis verallgemeinert werden, wenn man auf erhöht eine Kraft α?

PPCM und Reihenkonvergenz

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