Fortschritte in Mathematik

Mathematik + Du = 1

Riemannsches Integral
Korrigierte Übungen

Korrigierte Aufgabe: Riemannsche Summe

Wir werden 3 Riemannsche Summenübungen hintereinander korrigieren. Wenn Sie nur Aussagen wollen, gehen Sie stattdessen gestern. Die Kenntnis dieser Übungen hilft, diesen Teil des Kurses gut zu verstehen.

Übung 1

Grundlegende Riemann-Summe

Wir beginnen damit, diese Folge als Summe zu schreiben

\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{kn} = \sum_{i=n+1}^{kn}\dfrac{1}{i}

Als nächstes ändern wir den Index:

\sum_{i=n+1}^{kn}\dfrac{1}{i}=\sum_{i=1}^{(k-1)n}\dfrac{1}{n+i}

Und mit n faktorisieren:

\sum_{i=1}^{(k-1)n}\dfrac{1}{n+i} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{(k-1)n}\dfrac{1}{1+i/n}

Wir können diese Sequenz dann in der Form schreiben:

\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{(k-1)n}\dfrac{1}{1+i/n} 

Und jetzt erkennen wir eine Riemann-Summe durch Setzen

f(x) = \dfrac{1}{1+x} \text{ on } [0,k-1]

Wir können jetzt das Ergebnis finden

\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{kn} = \int_0^{k-1 } \dfrac{1}{1+x} = \ln(K)

Damit ist diese erste Übung abgeschlossen!

Übung 2

Produkt von Riemann

Lass uns posieren

u_n = \sqrt[n]{\left(1+\dfrac{1}{n} \right)\left(1+\dfrac{2}{n} \right)\ldots \left(1+\dfrac{ n}{n} \right)} = \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n 1+\dfrac{k}{n} }

Und lassen Sie uns eine Anhangsequenz festlegen (Vn) definiert von

v_n = \ln (u_n) =\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n 1+\dfrac{k}{n}

Die Summe hat die Form

\sum_{k=1}^nf\left(\dfrac{k}{n} \right) \text{ mit } f(x) = 1+x

Wir haben dann:

\lim_{n \rightarrow + \infty} v_n = \int_0^1 (1+x) dx = \dfrac{3}{2}

Durch die Stetigkeit des Grenzwerts gehen wir dann auf die überexponentiell :

\lim_{n \rightarrow + \infty} u_n = e^{\frac{3}{2}}

Was schließt diese Riemann-„Produkt“-Übung ab?

Übung 3

Riemannsche Summe und Polynom

Deshalb werden wir dieses Mal die Riemann-Summen verwenden, um ein Äquivalent zu berechnen. Wir stellen:

u_n = \sum_{k=1}^nk^{\alpha}

Lassen Sie uns eine Riemann-Summe zeigen, dafür ist hier die Manipulation, die wir machen:

u_n = \sum_{k=1}^nk^{\alpha} = n^{\alpha +1} \left( \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \dfrac {k}{n} \right)^{\alpha} \right)

Der Term in Klammern ist tatsächlich eine Riemann-Summe in der Form:

\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^nf\left( \dfrac{k}{n} \right)

mit f definiert durch

f(x) = x^{\alpha}

Also haben wir:

\lim_{n \rightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \dfrac{k}{n} \right)^{\alpha} \ rechts) = \int_0^1 x^{\alpha} dx = \dfrac{1}{\alpha+1}

Daraus leiten wir ab

 \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \dfrac{k}{n} \right)^{\alpha} \sim \dfrac{1}{\alpha+1}

Dann finden wir das gewünschte Äquivalent:

u_n = \sum_{k=1}^nk^{\alpha} \sim \dfrac{n^{\alpha+1}}{\alpha+1}

Damit ist unsere äquivalente Übung mit einer Riemann-Summe abgeschlossen

Gefallen dir diese Übungen?

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