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Cesaros Lemma
Korrigierte Übungen

Korrigierte Übung: Cesaros Lemma

Hier ist die Aussage einer Übung zu Cesaros Lemma, einem wohlbekannten Lemma über Folgengrenzen. Es ist ein Übung, die mit dem Sequenzkapitel verbunden ist, und zwar in Bezug auf Sequenzgrenzen. Diese Übung ist ein Klassiker und daher ist es gut, sie zu kennen. Hier ist die Aussage:

Cesaros Lemma

Fall 1: l = 0

Nehmen wir zunächst an, dass l = 0 ist. Wir werden später auf den allgemeinen Fall zurückkommen.

\begin{array}{l} \text{Sei } \varepsilon > 0\\ \existiert n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_0, |u_n| \leq \varepsilon \\ \end{array}

Jetzt werden wir die folgende Aufschlüsselung vornehmen:

\begin{array}{l} v_n = \dfrac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n_0} u_k+ \dfrac{1}{n} \sum_{k=n_0+1}^n u_k \end{array}

der Begriff

\displaystyle \sum_{k=0}^{n_0-1} u_k

Hängt nicht von n ab. Also für ein n1 groß genug, wir haben:

\exists n_1\in \mathbb{N}, \forall n \geq n_1,\dfrac{1}{n}\displaystyle\left| \sum_{k=1}^{n_0} u_k \right|\leq \varepsilon 

Darüber hinaus ist per Definition von n0 :

\begin{array}{l} \left|\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=n_0+1}^n u_k \right| \\ \leq \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=n_0+1}^n \left| u_k \right| \\ \displaystyle \leq \dfrac{1}{n} \sum_{k=n_0+1}^n \varepsilon \\ \displaystyle \leq\dfrac{1}{n} (n-n_0) \varepsilon\\ \leq \varepsilon \end{array}

Jetzt fügen wir die beiden Teile zusammen:

\begin{array}{l} |v_n| = \links| \dfrac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=1}^n u_k\right|\\=\left| \displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n_0} u_k+ \dfrac{1}{n} \sum_{k=n_0+1}^n u_k\right|\\ \leq \ links| \displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n_0} u_k \right|+ \left| \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=n_0+1}^n u_k \right|\\ \leq \left| \displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n_0} u_k \right|+ \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=n_0+1}^n\left| u_k \right|\\ \leq \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon \end{array}

Da Ɛ willkürlich gewählt wurde, erhalten wir die Tatsache, dass:

\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} v_n = 0

Dies beweist das gewünschte Ergebnis für den Fall, dass die Grenze 0 ist.

Fall 2: I beliebig

Hast du Epsilons satt? Seien Sie versichert, dieser zweite Teil ist nicht erforderlich. Wir lassen die Folge w die bestimmte Folge sein, die definiert ist durch:

w_n = u_n -l 

Hier ist der Grenzwert der Folge w, die Berechnung ist einfach:

\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} w_n = ll=0

Wir haben also gemäß Fall 1, den wir gerade gezeigt haben:

\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n w_n = 0

Wenn wir diese Summe jedoch vereinfachen, erhalten wir:

\begin{array}{l} \displaystyle \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n w_n \\ = \displaystyle \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n (u_n-l)\\ = \displaystyle \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_n- \displaystyle \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^nl\\ = \displaystyle \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_n- \displaystyle \dfrac{1}{n} ln\\ = \displaystyle \dfrac{1}{n} \sum_{k =1}^n u_n- l\\ =v_n - l \end{array}

Was uns folgendes Ergebnis liefert:

\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n w_n = 0

Wir können daher schließen:

\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} v_n =\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_n= l

Damit haben wir das Lemma von Césaro im allgemeinen Fall bewiesen!

Zwei Verallgemeinerungen

Erste Verallgemeinerung: Die Grenze kann tatsächlich unendlich sein!

Cesaros Lemma-Verallgemeinerung

Zweite Verallgemeinerung: Wir können die gleiche Art von Argumentation anstellen, aber mit einem komplizierteren Ausdruck!

Variante von Cesaro

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4 KOMMENTARE

  1. Hallo, ich würde gerne den ersten Fall etwas besser verstehen, in dem wir irgendwann n1 verwenden, um wieder anzunehmen, dass die Summe kleiner als Epsilon ist. Da epsilon von vornherein bereits angenommen wird, sollten wir dieses Ergebnis nicht mehr haben (was mir nicht nachvollziehbar erscheint), Vorsicht, ich prangeriere nicht an, dass dies falsch ist, ich bin nur ein Vorbereitungsstudent, der versucht, die Idee dahinter zu verstehen diese Demonstration ;), nur um sie mir zu eigen zu machen und nicht um sie zu verbrennen. Vielen Dank im Voraus.

    • Hallo Jojo, gerne beantworten wir diese Frage, keine Sorge. Dadurch können wir unsere Inhalte verbessern 🙂
      Ich versuche es mal besser zu erklären:
      – Ja, Epsilon ist am Anfang fixiert und bewegt sich nicht
      – Ja, der absolute Wert der Summe auch
      – Die linke Seite geht gegen 0, wenn n gegen unendlich geht
      – Wenn also n groß genug ist, wird das linke Glied ab einem bestimmten Rang kleiner als dieses feste Epsilon.

      Hilft dir meine Antwort?

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